Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Переходные процессы в приближении заданного поля накачки; ус-
—»- ловие самовозбуждения субгармони-
* ки. В рассматриваемом приближе-Рис. 5.12 нии (ах (z) а30) для ? = п/2 пря-
R( о)
'30
5.4. Генерация субгармоники при непрерывной накачке
301
мая волна субгармоники описывается первым уравнением (5.3.15):
datldz + Sjaf — axata30 ехр (— 63z) = 0, (5.4.1а) а обратная волна — уравнением
— dat/dz + 6хаГ = 0 (5.4.16)
(обратная волна субгармоники не взаимодействует с прямой волной накачки). Для простоты пренебрежем поглощением волны накачки в кристалле (б3 = 0). Подчеркнем, что пренебрегать поглощением субгармоники принципиально нельзя, поскольку бл входит в пороговое условие генерации. Введем обозначение
аха 30 == а. (5.4.2)
Назовем а параметром нелинейной связи. Учитывая(5.4.2), полагая б3 = 0 и обозначая бх как б, перепишем систему уравнений для амплитуд at и at в виде
dat/dz + ба^ —oat = 0; | (5 4 3)
— da^/dz-^- 8а^. = 0. j
Решая эту систему, находим
at 00 = at (0) ехр [(а — б) /]; аТ (0) = at (I) ехр (— 81).
(5.4.4)
Условия отражения на зеркалах имеют вид
at (0) = R (0) at (0); аТ (I) = R (I) at (/)• (5.4.5)
Физическую картину усиления субгармоники в резонаторе представим в виде последовательности циклов, каждый из которых соответствует обходу резонатора, т. е. включает прямой проход по резонатору, отражение от правого зеркала, обратный проход, отражение от левого зеркала. Возникшая на левом зеркале флуктуация субгармоники с амплитудой at (0) (и волновым вектором, направленным в положительном направлении оси резонатора) усиливается на прямом проходе за счет взаимодействия с волной накачки и приобретает амплитуду at (0) ехр [(а — б) /] (предполагаем, что а > б). После отражения от правого зеркала имеем R (I) at (0) ехр [(ст — б) I]. На обратном проходе амплитуда субгармоники уменьшается за счет поглощения в кристалле: R (1) at (0) ехр [(а—26) /]. Наконец, после от-
302
Гл. 5. Параметрическая генерация света
ражения от левого зеркала получаем R (0) R (I) at (0) X X ехр [(а—26) I]. Для усиления субгармоники необходимо, чтобы полученная амплитуда превышала исходную амплитуду at (0). Таким образом, условие самовозбуждения субгармоники в резонаторе можно записать в виде
R (0) R (/) ехр [(а — 26) /] > 1. (5.4.6)
Отсюда следует, что пороговая амплитуда волны накачки (а3о)ПОр определяется соотношением
R (0) R (I) ехр [ах (а30) пор I — 26/] = 1. (5.4.7)
Следовательно,
(а3о)пор —
О].
26+ —In--------------!-----1. (5.4.8)
I R (0) R (1) J v '
Обозначим через ризл коэффициент излучательных (полезных) потерь:
Ризл—“1°-----------» (5.4.9)
I R (0) R (I) ’
после чего соотношение (5.4.8) принимает вид
^пор = (азо)пор 26 -)- РцЗЛ. (5.4.10)
Пороговый параметр нелинейной связи равен сумме коэффициентов вредных (пассивных) и излучательных потерь. Условие самовозбуждения субгармоники (5.4.6) может быть теперь записано совсем лаконично:
(5.4.11)
Метод последовательных шагов. Анализ развития процессов генерации на основе рассмотрения последовательности циклов, каждый из которых отвечает обходу резонатора, составляет сущность метода последовательных шагов*. Используя полученные ранее результаты, запишем выражения для амплитуды at на левом и правом зеркалах для последо-
*Наряду с методом последовательных шагов в теории ПГС применяется также метод полных уравнений в частных производных [12]. В этом методе прямые и обратные волны заменяют стоячими волнами с медленно меняющимися во времени амплитудами и фа-
ЗЭМР,
5.4. Генерация субгармоники при непрерывной накачке ЗЙЗ
вательности нескольких первых циклов (второй цифровой индекс означает номер цикла):
aii (0 = ао ехР [(о — б) Л; а?2 (0) = а0 [1 + ехр (ql)I;
(0 = ао П + ехр (^/)] ехр [(ст — б) /]; а1з (0) = fl0 И + ехр (ql) -f ехр (2ql)]\ а1з (0 = ао П + ехр (ql) + ехр (2ql)\ ехр [(а —б) /].
(5.4.12)
Здесь а„ — начальная флуктуация субгармоники на левом зеркале; q — полный инкремент усиления за цикл:
q в 26 - Ризл о ~ О’пор- (5.4.13) Для N-то цикла имеем
a in (0) = а0 {1 + ехр (ql) + ехр (2ql) ... +
+ ехр [(N — 1) ql] = а0 [ехр (Nql) — 1]/[ехр (ql) — 1].
(5.4.14)
Таким образом, коэффициент усиления субгармоники за N циклов равен
G = afw(0)/a0 = [ехр (J^ql) — 1]/[ехр (^/) — 1]. (5.4.15)
При достаточно больших N усиление может достичь значительной величины. Так, для q = 0,5 см-1, 1=2 см, N = 30 соотношение (5.4.15) дает 1013. При таких значениях коэффициента усиления амплитуда субгармоники, нарастая во времени (от цикла к циклу), может оказаться равной амплитуде волны накачки. Естественно, что в подобных случаях приближение заданного поля накачки становится непригодным.
Стационарный нелинейный режим; условие стационарной генерации субгармоники. Переходя к рассмотрению стационарной генерации субгармоники, необходимо обратиться к нелинейному режиму, когда учитывается обратное воздействие субгармоники на волну накачки. Воспользуемся уравнениями (5.3.2), где положим Ak = 0,? = я/2, а2 = %;
dajdz + бй!—aj a! а3 = 0; 1 j
da3/dz + 8a3 + a3a^ = 0. J
