Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
б г=К
а^1* г) =2яй1|
оа = лК
е*!1-2» (1тв1-2 (to) : е^1-2*)
2 («1,2 И)3
е2 (1т 8 (2со) : е2)
2я2 (2со) ’
е<11,2) (хИ : ei2,11 е2) («1,2 Н)2 е2 (x(2t0) : ei1' ех2)) ^ гР (2со)
(2.2.29)
(2.2.30)
46
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Система укороченных уравнений для вещественных амплитуд и обобщенной фазы состоит теперь уже не из трех, а из четырех уравнений 17, 9]:
da*!11 /dz + S'j15 a\l) +o(j > aCj2> a2 sin Ф = 0; rfa|3>/rf2+6i2)a<2> + a^)a^)a2 sin®=0; doz/dz-^ 62a2—а(х2) ешФ = 0;
ai 1}а[2>а2 <х^> а[^а2
1Г“м+1 ^ + ^ ~ '
а2а{1Ы{2'1 а2
Обобщенная фаза Ф определяется соотношением
ф = (р<11> + ф<12>_(р2 + М2, (2.2.32)
где Ak — проекция вектора (К — кх — ка) на ось z.
Конкретизация коэффициентов нелинейной связи. В соотношения для коэффициентов нелинейной связи (2.2.21), (2.2.30) входят выражения вида
ei ОСИ : eie2); е2 (% (2<а) : е^) (2.2.33)
для скалярного оое-синхронизма и вида
е'1’2) (х (со) : е<2>’> е2); е2 (%(2<о) : ej1} e(i2)) (2.2.34)
для других синхронизмов. Условно-векторная запись %: ее требует, очевидно, конкретизации. Для простоты ограничимся скалярным оое-синхронизмом и, следовательно, выражениями (2.2.33). Обозначим
Pi(co) = х И = е1ег; Р2 (2ю) = % (2со) : е^.
(2.2.35)
Переходя от условно-векторной формы представления к обычной, перепишем (2.2.35) в виде
3 3
Ри И = 2 2 (ю) еи е2т; (2.2.36)
i = 1 т = 1 3 3
Л|(2ю)=2 2 Xwm (2®) eim. (2.2.37)
/ = 1 т— 1
Распишем (2.2.36) подробно:
PlX %хххр1у?ъх Ч" XxxyZixPiy "1“ %xxz?lx&2z Ч-
Ч~ Ххух Siyeix %
хууе1уе2у Ч" %xyzelyevz +
Ч~ЗСз«*?:иб2ж Ч- ЗСхгв^1г^2К Ч" %xzz@lz?(2.2.38)
cos ф = 0.
(2.2.31)
2.2. Укороченнке уравнения в приближении плоских волн 47
Составляющие векторов р1)2, входящие в выражения типа (2.2.38), определяются поляризацией волны (направлением колебаний вектора электрической напряженности); ненулевые составляющие тензора % определяются симметрией данного кристалла, их абсолютные значения получают, как правило, экспе-
риментально (в отдельных случаях составляющие тен- Рис. 2.6 зора х можно вычислить
[10]). Определив составляющие вектора рь находим затем конкретный вид одного из искомых выражений:
ei (X '• eie2) = = е1хр1х + е1ур1у + е1гр1г. (2.2.39)
Составляющие векторов е1)2 не зависят, очевидно, от выбора кристалла; они определяются типом синхронизма. При оое-синхронизме волна основной частоты является обыкновенной и, следовательно, вектор ех перпендикулярен плоскости главного сечения (плоскости, проходящей через оптическую ось кристалла z и направление распространения волн). Волна второй гармоники является необыкновенной; вектор е2 лежит в плоскости главного сечения. Введем направляющие углы 0 и ф. Угол 0 отсчитывается от положительного направления оси z, а угол ф от одной из кристаллографических осей, например от оси х; см. рис. 2.6 (ON — направление распространения волн, М — плоскость главного сечения; двулучепреломлением здесь пренебрегаем и, таким образом, не учитываем различия направлений волнового и лучевого векторов необыкновенной волны). Из рисунка видно, что
е2х = —cos ф cos 0; е.2У = — sin ф cos 0; e2z = sin 0.
Далее необходимо учесть класс симметрии нелинейного кристалла. Рассмотрим для конкретности класс симметрии С3у, к которому относится, в частности, кристалл ниобата лития.
eix = sin Ф; е1у = — cos ф; еи = 0;
48
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Конкретизация коэффициентов нелинейной связи на примере кристалла ниобата лития*). В кристалле ниобата лития оптическая ось г есть ось симметрии 3-го порядка; через нее проходят три плоскости симметрии (под углом 120° друг к другу), одна из этих плоскостей — плоскость zy. Ненулевые составляющие тензора % рассматриваемого кристалла (см. [2]);
Учитывая, что тензор % симметричен по двум последним индексам [например, %ХХ2 = %Х2Х, см.. (1.2.8)], заключаем отсюда, что у кристаллов класса C3v тензор % имеет в общем случае одиннадцать ненулевых составляющих; из них лишь четыре различны по величине (четыре независимых составляющих). Если перейти в соответствии с (1.2.11) к системе двух индексов, то ненулевые составляющие тензора квадратичной восприимчивости запишутся как
Таким образом, матрица йц для кристалла ниобата лития (и других кристаллов класса C3v) имеет вид
В слабодиспергирующих кристаллах, т. е. в случае, когда частоты со и 2 со лежат далеко от характеристических полос УФ- и ИК-поглощения, число ненулевых независимых составляющих тензора % может уменьшиться, поскольку тензор % становится в данном случае симметричным относительно перестановок всех трех индексов [см. (1.2.14)]. Применительно к классу C3v это означает, что остаются лишь три независимые составляющие:
%ZZ2> Хжж2 %УУг’
-v ------ . л/ --------- - v ' V ------------- V
лууу— кхух~~' лухх> Мхх КгУУ
(2.2.41)
^331 ^15 — du\ d2-i = dla = d21; d3l = ds2.
(2.2.42)
(2.2.44)
*) Конкретизация для кристаллов группы KDP проведена в
2.2. Укороченные уравнения в приближении плоских воли
49
или при переходе к системе двух индексов
(2.2.45)
В таблицах обычно указываются для ниобата лития ие три, а четыре составляющие (d33, d15, d31, d.2.2) (см., например, [11]). Дело в том, что при удвоении частоты неодимовых лазеров (1,06 мкм—>-—» 0,53 мкм) частота второй гармоники оказывается достаточно близкой к краю полосы УФ-поглощеиия ниобата лития, так что условие (1.2.14) выполняется лишь приближенно; в [111 отношение dsl/dn приводится равным 0,8—1,1. В дальнейшем будем полагать d3i =
