Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Для существования внутри окружности двух фазовых центров необходимо выполнение условия | Ах | < 1. Если | Ах | ^ 1, то в этом случае внутри ограничивающей окружности будет наблюдаться лишь один фазовый центр. На рис. 2.12 показан фазовый портрет при Ах = 1.
Движение изображающей точки по прямолинейному участку сепаратрисы. Пусть граничные условия соответствуют точке 01 на рис, 2.11. В этом случае изображающая точка будет двигаться по вертикальной прямой от 01 к Ах. Используя (2.4.12) и учитывая (2.4.6), перепишем первое уравнение системы (2.4.3) в виде
dv.Jdz = аг U (1 — у2) V1 — (Ai/^)2,
2.4. Решение уравнений при волновой расстройке
63
или; иначе,
dv\!dz = 2аг U (1 — v\) Vv\—А{. (2.4.13)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (0)= = A j, имеет вид
v\ (z) = Д2 + (1 —Л^) th2{pxUVl —z). (2.4.14)
При Ax = 0 из (2.4.14) получаем решение, соответствующее результату (2.3.22). Из (2.4.14) видно, что при движении по сепаратрисе изображающая точка могла бы попасть в сед-ловую точку Ах лишь в пределе z->oo. В заключение заметим, что как и при Ах = 0 движение изображающей точки по прямой Л]Л2 является неустойчивым.
Случай отсутствия второй гармоники на входе нелинейной среды. Предположим, что v2 (0) = 0. При Ai =#=0 рассматриваемый случай соответствует движению изображающей точки по некоторой замкнутой фазовой траектории — траектории, проходящей через точку О на рис. 2.11 (на рисунке эта траектория показана штриховой линией). Подставляя v2 (0) = 0 в (2.4.96), получаем уравнение указанной траектории:
cos ? = — — vl). (2.4.15)
Используя (2.4.15) и (2.4.6), преобразуем первое уравнение системы (2.4.3) к виду
dvjdz = + OxUV 1 — (24-Д2) vj + v* (2.4.16)
(знаки плюс или минус выбираются в зависимости от знака sin ?). Возведя обе части уравнения (2.4.16) в квадрат, получим
(dvjdzf = a\U2 [1 — (2 -f Aj) v! + vll (2.4.16 а) Введем функцию
V,(u) = v2(z)/Yk, (2.4.17)
где _ ___________
У к = УI + (Ai/2)2—Ах/2; u,=--zOxU !У~к. (2.4.18)
С использованием новых обозначений уравнение (2.4.16а)
принимает вид
v2 (U) J = [1 - VI («)] [1-х2 VI (и)]. (2.4.19)
64
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Это есть дифференциальное уравнение для эллиптического синуса Якоби sn (и; и) [12]. Таким образом,
(z) = Ух sn (и; %).
(2.4.20)
Параметр к (а следовательно, и переменная и) выражается через приведенную расстройку Av Используя (2.4.18), нетрудно получить
Дх = (1 — у)\У%, (2.4.21)
Эллиптический синус Якоби sn («; х) представляет собой периодическую функцию от и с периодом, равным 4К, где
1
К=С[(1-у*)(1-и*у*)]-1/2<*0 (2.4.22)
'о
(К — полный эллиптический интеграл 1-го рода). При х = 0 эллиптический синус Якоби превращается в обычный синус, а при х = 1 — в гиперболический тангенс:
sn (и; 0) = sin и; sn (и; 1) = th и. (2.4.23)
На рис. 2.13 показаны три графика: 1) sn (и; 0) = sin и. 2) sn (и ; х) для некоторого значения к внутри отрезка [0; 1], 3) sn (и; 1) = = th и. Заметим, что sn (2п К', х) =0 и sn ((Ап + 1) К\ х) = 1 (при п — 0, ± 1, ±2, ...).
При точном выполнении условия синхронизма и = 1. В этом случае
v% (z) = sn (и; 2) = th (o^f/z). (2.4.24)
Результат (2.4.24) согласуется с (2.3.22).
Предположим, что имеет место существенная волновая расстройка: А1 ;>> 1 (Ak > 2 cut/). Этй означает, что волны распространяются в направлении, удаленном от направления синхронизма. Из (2.4.18) находим, что в данном случае
Ун « (AJ2) (1 + 2/А?) — AJ2 = 1/Ах (2.4.25)
и, следовательно,
v% (z) = Ух sn (z а±и(Ук\ 0) = sin (zoyUA^/Ay
2.4. Решение уравнений при волновой расстройке
65
Таким образом, при сильной расстройке можно полагать, что
/ ч 2СГ, U ¦ A kz .. . A kz
Vi Ak~ Sm ~2~ ~ °1 SmC ~2~ (2-4.26)
(напомним: sine X = sin Х/Х).
Графики функции \v2(z)\ при разных Дх представлены на 2.14 (сравните с рис. 2.13). График 1 получен для Аг =0 [соотношение (2-4-24)], а график 2 — для Аг > 1 [соотношение (2.4.26)]. Графики 3, 4, 5 иллюстрируют промежуточные ситуации, отвечающие значениям приведенной расстройки Л(13), А{4>, Ai6) соответственно: при этом A(i3) < А(,4) < Ai6). Подчеркнем, что Ук есть максимальное значение амплитуды второй гармоники для данной расстройки Ах:
о» max = V* = V 1 + (Ai/2)2-Ai/2. (2.4.27)
Как видно из рисунка, при Ах =?0 наблюдаются пространственные биения; амплитуда биений с увеличением расстройки уменьшается, а пространственная частота возрастает.
Будем называть длиной когерентности расстояние lh, равное четверти периода функции sn (гахиГУх\ и). Сначала на расстоянии lh происходит перекачка мощности основного излучения во вторую гармонику; затем на расстоянии /й происходит обратная перекачка мощности. Так как пе-
3 Зак. 637
66
Гл. 2. Генерация второй гармоники
риод функции sn (и; и) равен 4/С, то, следовательно, lhexUlV* = К.
Отсюда
lh = кУ^и. (2.4.28)
При Дх > I воспользуемся результатом (2.4.25). Учитывая, что в этом случае К = п/2, получаем
lh = я/М. (2.4.29)
Приближение заданного поля основного излучения.
Предположим, что амплитуда поля второй гармоники для всех z, т. е. по всей длине нелинейной среды, весьма мала:
