Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Ш1(02 ]/ И1 -- 4(02
+ 2К - со2) 0^ - г/!Х2г/2)] + О (е2) = р2 = const. Опять можно показать,
что эта формула точно совпадает с результатами, полученными Контопулосом
в случае со?"(c)!.
В обоих рассмотренных здесь резонансных случаях легко видеть, что новый
гамильтониан, записанный в переменных q, р, имеет ту же главную часть,
что и в идеальной резонансной проблеме. А именно, для резонанса со? "
4cof имеем
Н = К - 2со2) рг + согр, - -~- (р2 - 2рг) VPi cos qlt
V 2(о1(о2
2 2
а для резонанса со4 "со2 -
Н - ((Й! С02) Рг 4- С02р2 --,22(2--------/ 2\ [(^ш2 - 3c0i) р\ -|-
4ш|(r)| ("i 2)
10. ЗАМЕЧАНИЯ
289
+ 2 (Зсо? + ЫуЩ - 8со2) Р1Р2 - (3(0? + 8(0!(02-8(о1) р\ +
+ 4соа К + 2со2) (р2 - Pj) Pi cos 2qx].
В обоих случаях видно, что при точном резонансе
dH0/dpi = 0.
Однако во втором случае можно допустить, что эта производная является
малой величиной порядка 0(e), и тогда по-прежнему можно получить решение
в виде формальных рядов по степеням е. В первом случае величина
наименьшего порядка может быть малой величиной порядка 0(е1/2), и в этом
случае решение надо строить по степеням е1/2, о чем и говорилось в
предыдущем параграфе.
Системы дифференциальных уравнении типа системы (5.9.1) очень широко
изучаются в литературе, и сравнение классических методов решения с
формальным подходом, основанным на рядах Ли, может оказаться весьма
плодотворным. Сходимость рядов этого последнего подхода является,
вероятно, наиболее интересной частью проблемы.
10. Замечания
С физической точки зрения понятия линейного или нелинейного резонанса
могут отражать только некоторые аспекты тех пли иных постановок задач.
Для любых физических целей линейный резонанс не существует. Нелинейный
резонанс является главным принципом настройки, т. е. выделения сигнала из
общего шумового фона, а в естественных системах - причина устойчивых
колебательных конфигураций; общим для обеих ситуаций является явление
"захвата в резонанс". В более сложных системах резонанс выявляется только
с помощью численных исследований. Хорошие примеры в этом отношении дают
работы Хено-на и Хейлеса [43] и Густавсона [38]. В некоторых случаях
метод поверхностей сечения (или результаты Пуанкаре) является очень
эффективным, как например, в задаче, рассмотренной Дэн-бц [26]. Что
касается гамильтоновых систем, то мы немедленно сталкиваемся с вопросом о
том, будут ли такие системы осцилляторами. Ясное описание, даваемое с
помощью переменных действие - угол, применимо только тогда, когда можно
разделить уравнение Гамильтона - Якоби, и поэтому оно имеет слишком
ограниченную область применения. Таким образом, мы вынуждены прийти к
обычному описанию колебаний в окрестности положения равновесия, которое
надо считать устойчивым. Нелинейность заключается в том, что если такие
колебания периодичны по каждой переменной, которая описывает отклонение
от положения равновесия, то их период зависит от этого отклонения.
19 Г. Е О. Джаьалья
290
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
Математическое определение нелинейного резонанса, основанное на методе,
который применяется для получения асимптотических решений, разумеется, не
является удовлетворительным, хотя и часто используется (см., например,
[52], стр. 18). Такое определение, если оно основано на появлении нулевых
делителей в приближенных методах (как описывается в этой главе), есть не
что иное, как эквивалентное утверждение о неполном вырождении. Перед тем
как переходить к более уточненным и подробным определениям, надо отдавать
себе отчет, что рассматриваемый вопрос по существу заключается в изучении
поведения нелинейной динамической системы под влиянием внешних (или
внутренних) возмущений. Асимптотически устойчивые решения можно в
конечном счете получить с помощью асимптотических или чисто качественных
методов, на что и указывалось в работах Боголюбова и Митропольского [12],
Немыцкого и Степанова [64], Чезари [16] и Митропольского [58]. Поиск
таких решений очень часто сводится к определению расположения и типов
особых точек в фазовом пространстве. Тип этих точек зависит от поведения
интегральных кривых в их окрестности, и, следовательно, располагая такой
информацией, мы можем установить топологическую картину поведения
траекторий в этих окрестностях фазового пространства. Однако в
большинстве случаев поведение интегральных кривых в фазовом пространстве
остается неизвестным, и часто численные методы являются единственными
методами, имеющимися в нашем распоряжении. Кроме того, иногда пытаются
понять нелинейные эффекты, упростив систему.
Характерный пример типично нелинейных трудностей и резонансных эффектов
дает рассмотрение уравнения
х + а>2х + ах = Р/(т), (5.10.1)
где <й и а зависят от х и х. Амплитуда [5 вынуждающей силы предполагается
фиксированной, а т =* &t, где е - малая величина. Типичным предположением
является предположение о том, что со2 и а являются функциями "энергии" Е
системы, т. е.
2 Е = х2 + а>2(Е)х2, (5.10.2)
и тогда ищется колебательное решение
