Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
что распространение теоремы Ляпунова на этот случай не всегда возможно.
Однако совсем недавно в работе Бергера [8] для гамильтоновых систем при
отсутствии гироскопических членов была доказана одна важная теорема из
этой области. С другой стороны, Хенрард [44] в конкретной системе1), в
которой такие члены присутствуют, провел формальную нормализацию, и с
помощью численных методов показал, что, по-видимому, при некотором
резонансном соотношении между частотами нормальных колебаний в
окрестности положения равновесия существуют периодические орбиты.
Наконец, Рул [69], применив метод нормализации, показал существование
периодических орбит, соответствующих рациональным частотам, в
ограниченной задаче трех тел, а позже [70] дал доказательство теоремы,
обобщающей результаты Ляпунова. Точнее, периодические решения в
окрестности положения равновесия будут существовать, когда Я, = к%i (к S5
4, Я] - чисто мнимая величина) и выполнены некоторые условия, зависящие
от к и от членов более высокого порядка в разложении гамильтониана около
положения равновесия. Здесь мы ограничимся упоминанием только наиболее
важных результатов Бергера и Рула2).
Бергер обобщил теорему Ляпунова следующим образом [8].
Теорема. Пусть дан гамильтониан
Н(У, *) = 4-а!а + i-y^Ay л. F (у),
где у и х - п -мерные векторы, F (у) принадлежит по крайней
j dF
I ду
1 д F
мере классу С1 при 0 < у < 2я, lira - /||у|| = 0, а А -
II V ||-*о
') В работе [44] рассматривается движение в окрестности лагран-жевых
решений плоской круговой ограниченной задачи трех тел (прим. перев.).
2) См. также [37*] (прим. перев.).
298
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
постоянная самосопряженная матрица размерности п X п с собственными
числами Я?, ..., %п- Если существует р собственных чисел, не обязательно
различных, но равных величине к2Х^ (к - целое число для некоторого 1 < /
< п, то существует по крайней мере р различных однопараметрических
семейств иДе) (/ = 1, ..р) периодических орбит с периодами Tj(е). При 8-
"-0 все семейства переходят в положение равновесия и периоды равны
2я/|Я,-|. Более того, если функция F(y) вещественно аналитична, то Uj(e)
и Tj(e) непрерывны в окрестности положения равновесия.
Ясно, что теорему нельзя применить, если гамильтониан содержит линейные
по х члены, т. е. по вектору "скоростей". В этом случае применима теорема
Рула при следующих предположениях [69, 70].
Теорема. Пусть дан вещественный аналитический гамильтониан- Н (у, х) в
окрестности положения равновесия (0, 0). Если все собственные числа
линейной системы в вариациях различны между собой, одно из них, например,
Я1, является чисто мнимым, и существует другое собственное число,
например, Яг, такое, что %2 - к%\ (к ^ 4 - целое число), то существует
семейство вещественных периодических решений, зависящих аналитически от
вещественного параметра в окрестности положения равновесия, если, кроме
того, число R(k) ф 0.
Это число зависит от к и от коэффициентов разложения функции Н в
окрестности точки (0, 0) до членов четвертого порядка. Если s -> 0, то
эти решения переходят в положение равновесия, а их периоды, являющиеся
аналитическими функциями параметра е, стремятся к величине 2я/1 Я] |.
Первое приближение для этого решения совпадает с первым приближением,
получающимся в методе Ляпунова для нерезонансного случая ').
Разумеется, список результатов для многих частных случаев может быть
продолжен до бесконечности. Мы хотим только упомянуть важные работы,
которые написали Хейл [41] (особенно §§ III.5-III.11 и главы IV,V),
Сансоне и Конти [72] (особенно §§ VII.1, VIII.7), Чезари.[16] (§ 8, 9),
Андронов и др [2] §§ (1.2-1.5, главы II, VI), Андронов и др. [3] (главы
II, III, IV, особенно с важной точки зрения структурной устойчивости),
Немыцкий и Степанов [64] (главы IV, V), Ла-Салль и Лефшец [53] (глава 4,
особенно с точки зрения обобщения ляпуновского метода исследования
устойчивости), некоторые авторы- Трудов
>) Весьма примечательно, что, в отличие от классического нерезонансного
случая Ляпунова, в резонансном случае в работах [44, 69, 70, 37*]. кроме
того, обнаружены такие периодические движения, которые при е_э-0 не
переходят в положение равновесия (прим. перев.).
10. ЗАМЕЧАНИЯ
299
Международного симпозиума по дифференциальным уравнениям и динамическим
системам [42] (под редакцией Хейла и Ла-Сал-ля), Урабе [74] (главы 4, 5),
Розе [71] (главы 9. 10, 12, 13, 18 и некоторые примеры на протяжении всей
книги), некоторые авторы в переводах Американского математического
общества [1], Чен [17] (особенно некоторые примеры по вибрациям в
нелинейных механизмах).
Одной из лучших работ по теории колебаний в электрических системах, где
анализируется проблема резонанса в некоторых ситуациях и для некоторых
примеров, является работа Блакьера [10]. Наконец, много общих задач и
специальных случаев, встречающихся в небесной механике, собрано в Трудах
Международного симпозиума по периодическим орбитам, устойчивости и
