Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
асимптотического движения или седловых точек представляют собой нечто
иное и должны рассматриваться особым образом. Непохоже, чтобы этот тип
движения сохранялся, в то время как колебания или вращения по всей
видимости сохраняются при достаточно малых возмущениях.
Теорема Арнольда дает нам объяснение этому эффекту. Невозмущенная орбита
в этом случае описывается эллиптическими функциями или интегралами, и
можно будет использовать метод теории возмущений, но, поскольку
используется "лучшее" невозмущенное движение, чем просто положение
равновесия (которое обязательно должно быть центром), то можно ожидать,
что метод последовательных приближений имеет большие шансы на сходимость.
В описываемой здесь формулировке уравнения Ли - Хори в точности совпадают
с этими уравнениями для нерезонансных систем. Понижение порядка при
дифференцировании по 1 в точности компенсируется умножением на rj,
которое после подстановки решения дополнительной системы приводит к
появлению малого сомножителя 0(е1/2). В самом деле, можно трактовать
выражение (5.7.10) как обычный ряд с F = F0 и с остаточными членами
увеличивающегося порядка, приняв в конечном счете за порядок дробь р/2,
где р - целое число. Характер разложения очень похож на разложения из
работы Жуппа [48, 49], и здесь его не стоит повторять. До членов второго
порядка это разложение можно найти в работе [49].
Приведение общего случая, упомянутое в начале параграфа, к идеальному
виду (5.7.9) может быть осуществлено следующим
270 ГЛ V РЕЗОНАНСЫ
образом (см. [36]). Пусть
со
Я = Л0 (г) + 2 A j (х) cos jy = Я (г. у), (5.7.12)
3 = 1
где величины Aj(x) 2, ...) предполагаются ограниченны-
ми малыми порядка е. Как обычно, мы запишем
А,(х) = 0(e) (j = 1, 2, ...)
при х из некоторого интервала D ей. Мы также положим в этом интервале
А0(х) = 0(1), А0 (х) = 0(е1/2), а переменная у определена на отрезке [0,
2л]. Идеальная резонансная проблема определяется гамильтонианом
Нг = А (ж) + В (ж) cos у, (5.7.13)
и при некоторых условиях существует каноническое преобразование,
определяемое формальными рядами, которое приводит га-
мильтониан (5.7.12) к виду (5.7.13), т. е. такое каноническое
преобразование (х, г/)-*-(|, г]), что
Я(ж(1, Ti), уЦ, г|)) =tf(S, ri) =P(s) + Q (s) cos rj. (5.7.14)
Вначале допустим, что выполнены условия:
а) Для любого жей и 0^г/<12я существуют только два
решения у = 0 и у = я уравнения х - - Ну = 0.
б) А0(х) > О, А\(х) >0 при гей.
в) Максимальное значение М функции Н достигается для х^ D при у - 0.
со
г) М {х) = 2 Aj (х) > 0.
3=1
д) Минимальное значение m функции Н достигается для жей при у - п.
оо
е) тп (х) = 2 (- tfA j ix) ~ 0.
з'=1
ж) Производящая функция преобразования (х, у) -*¦ (|, т]) имеет
классический асимптотический вид
S(b y)=ty + sl/2{l, y) + Si(l, У)+ ...
з) Коэффициенты Р{%) и @(|) имеют аналогичный асимптотический вид
P(l) = P0'(r) + Pm(l) + P1(t)+ -Qil) =<?"Ш + <?1/2(c) + &№) +
ИДЕАЛЬНАЯ РЕЗОНАНСНАЯ ПРОБЛЕМА
271
Приравнивая члены одинакового порядка в тейлоровском разложении уравнения
н(1
dSl/2
ду
.... у
dSu
к\Ьу~ 11
мы найдем
0(1): Р0(?) = Л0(?), (?0 (I) = О,
0( е1'2): Pi/2(?) = Ci/2(c) = 0,
О (е): (?)
dSl /2
т2^(r)(-т)2 +
ду ' -4 ' " VW \ ду
ОО
+ 2 ^7 (5) COS jy = Pi (?) + <?! (?) COS У,
i=i
О (e3/2):
Ло (?) + (5) + j А0 (?) +
1 A">,+JaSU2'*
¦ (5)
ду
+ •
dS
1/2
ду У з=1
cos ;г/ =
ад
= Рз/2 (5) + <?з/2 (?) cos у- Qx (?) -^-2 sin у
и т. д. В общем случае рассматриваемые уравнения имеют вид
[а'0 (?) + Al (c)
dS
1/2
дУ .
____п
ду
- РП-И/2 (5) + Qn+l/2 (5) COS У + ВП+1/2 (?) у) I (5.7.15)
з
где п = 1, у, 2, ... н где функции Вп+1/2 (?> У) зависят от уже
известных предыдущих приближений. Привлекая члены более высокого порядка,
мы можем записать уравнение (5.7.15) в виде
[а'0 (?) + Al (?)
dS^n 1/2) ду
dS~ i ,"^/ад"\2
ду
ГП + !^о(?)
ду
= Рп+Ц2 (?) + Qn+1/2 (?) COS у + Вп+1/2 (?, У), (5.7.16)
где
¦* - S j2 + S\ + S3/2 + • • ¦ + Sp.
Суммируя уравнения (5.7.16) от n = 1 до п = р и прибавляя еще уравнение
для членов порядка 0(e), при р = 1/2, 1, 3/2, ...
272
ГЛ. Л'. РЕЗОНАНСЫ
находим, что
j(p) \2
А'о (S) + Y А'о (t) = Р(Р+1/2) (I) + ^р+1/2) (s) cos у +
+ R(p+l/2){l, у), (5.7.17)
где
Р<" = р1 + рт± ... -Pft,
Q{k) = Ql + (?3/2 "Г • • • + (?fc>
Д№)= fll/2 +*!+... -г Д*.
Рассмотрим случай р = 1/2. Решая уравнение относительно {Si/2)y, находим
.. 1/2
Pi- (Лх - &) cos у - 2 ^7 cos ]У
и выберем
так что
Р Л1) =Q id)
(зду = -Л±{(^) +Л-
^0 IV ^0 / о
°° 11 1/2
2Axcos2^r - 2 AjCosjy I .
3=1 JJ
Если у = 0, то величина, имеющая степень 1/2, приобретает вид ^
+-|_[2Л1-Л/(?)1.
\ о / о
Если эта величина положительна, то функция (*5j/2)у всегда вещественна, и
переменная у описывает вращения. Если она отрицательна, то величина у не
может достичь значения у = 0, и эта величина описывает колебания около
значения у = л. Если у = я, то эта величина принимает вид (Л0/'Л0)2, и
знак в рассматриваемом выражении надо выбрать так, чтобы (S 1/2)5 - 0 в
