Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Hh = 2М?(а?) ехр {ipTy),
(5.8.2)
276
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
для консервативных систем недавно было доказано, что теорема, обратная
теореме Лагранжа - Дирихле, справедлива при достаточно общих условиях
(см. [39]), т. е. если гамильтониан Н не зависит от времени, то его
аналитичности более чем достаточно для обеспечения устойчивости точки
минимума потенциала и неустойчивости точки максимума ').
Приближение к нелинейным условиям резонанса, очевидно, дается уравнениями
где для данного |х Г> 0 мы предположим, что существует такое е > О, что
\\дН0/дхк ||я=я" = О (е1/2) при || х - Xй || ^ [х. Определитель,
составленный из вторых производных, предполагается невырожденным и
отделимым снизу от нуля величиной 0(1), т. е. не уничтожающимся вместе с
е и не зависящим от е.
Разложив функцию Гамильтона в n-мерный ряд Тейлора вблизи некоторой точки
х0, мы получим главную часть функции Н в виде
Можно показать, что существует формальное каноническое преобразование,
которое приводит гамильтониан общей задачи к виду, аналогичному виду
гамильтониана главной задачи (5.8.3). Эта процедура очень похожа на
процедуру приведения, уже описанную для одномерного случая. Мы опять
будем считать
1) Под теоремой, обратной к теореме Лагранжа - Дирихле, обычно
подразумевают такое утверждение: для устойчивости положения равновесия
консервативной системы необходимо, чтобы ее потенциальная энергия имела в
этом положении равновесия строгий изолированный минимум по всем
координатам. Это утверждение до сих пор не доказано даже для
аналитических систем, хотя последние результаты Четаева [32*] и недавние
результаты Коитера [33*] дают довольно хорошее приближение к решению этой
проблемы. В упомянутой работе Хагедорна [39] доказана лишь неустойчивость
точки максимума потенциальной энергии консервативной системы, а также
рассмотрено аналогичное "обращение" теоремы Раусса для непотенциальных
систем. Относительно устойчивости точки минимума потенциальной энергии в
[39] лишь приведен пример неаналитической системы (неустойчивой), указаны
ошибки некоторых авторов (например, в [53]) при доказательстве этого
утверждения, а также высказана та же гипотеза, что и в данной книге
(прим. перев.).
X - х° = const, у - ЩХЛ + у0,
F (8, у) = ат8 -j- 6ТЛ8 + Нх (аг0, у),
(5.8.3)
где
6 - X - X,
А = д-^-\
дх- \х-х9
Н1 (ж0' У) = ША 1 (хо) ехР (ip^y)-
Р
18 || = 0(е^), ! а || = 0(в1/2), |^| =0(8).
8. НЕСКОЛЬКО СТЕПЕНЕН СВОБОДЫ
277
Далее, очевидно, что матрица А симметрична и, следовательно,
соответствующим преобразованием ее можно привести к диагональному виду.
Но такое преобразование привело бы к появлению нецелых коэффициентов в
функции Ни выраженной в новых угловых переменных и, следовательно, оно не
очень удобно. Как и в большинстве случаев ранее, предположим, что главный
член в Н\ соответствует единственной комбинации угловых переменных ук (к
= 1, ..., п), и пусть эта комбинация записана так:
Уравнения движения, соответствующие гамильтониаиу (5.8.3), имеют вид
где * означает комплексное сопряжение. Отсюда следует, что
где z - вещественная переменная, а со - комплексная величина,
определяемая формулой
Действительно, мы можем записать уравнение (5.8.6) в вещественной форме
Решением уравнения (5.8.7) является эллиптический интеграл первого рода,
легко приводимый к нормальной форме заменой
iAiph exp {ipTy) + i (Л?)* ph exp (- ip?y), (5.8.4)
П
_ n n
z = - 2iAi 2 2 AhjPjPk exP (iz)
j=ik=i
+ 2i (Л?)* 2 2 AhjPjPk exp (- iz)
j=i ft=i J
П П
ИЛИ
z = a>eiz + сo*e~iz,
(5.8.6)
_ 71 П
to - 2iA'l 2 2 Akjpjph.
1 -j _j
3=1 k=l
z = toi cos z - иг sm z,
(5.8.7)
где
ft>i = 2Re to, co2 = 2Imco.
t, == z + a, sin a
278
ГЛ V. РЕЗОНАНСЫ
так что при т= у oaf -{- oai имеем уравнение
? = msin?, (5.8.8)
которое опять является уравнением простого маятника. Следовательно,
поведение переменной ? уже рассматривалось п "главный аргумент" z может
описывать колебания, вращения или асимптотическое движение.
Теперь легко полностью проинтегрировать уравнения (5.8.4) и (5.8.5), если
сначала получить &к из (5.8.4) с помощью простых квадратур, так как
теперь
bk = iPh[-AWz + {Al)*e-*\.
После этого из уравнений (5.8.5) получаем каждый угол ук опять в виде
простой квадратуры.
Ясно, что рассмотренный выше случай в действительности эквивалентен
одномерному случаю.
Задачу также можно решить аналогичным способом, если главная часть
функции Н\ зависит от угла z = р\ух + ... + рпуп и конечного числа целых
кратностей величины z, хотя в этом случае уравнение для z может привести
к вычислению гиперэллиптиче-
ских интегралов, так как ? = тх sin ?+ • • • -\~тР sin pt,.
Когда имеется несколько линейно независимых комбинаций z 1, ..., zP, то
решить задачу известными методами удается только, если возможно
определить непересекающиеся области, в каждой из которых каждая
переменная zh соответствует главному члену. Полное решение в этом случае
может быть получено объединением решений, локально справедливых в каждой
