Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
довольно просто устранить. Отсюда следует, что функции Нр (х, у) при р >
1 можно записать в виде
НР {х, у) = 2 К И cos пу. (5.7.3)
П = 0
Мы рассмотрим классический случай \х - х0\ = 0(е1/2). Это связано с
поведением функции Н0(х) в окрестности точки х0, как уже упоминалось в
предыдущих параграфах. Отсюда следует, что "главной" частью функции Я, за
исключением константы, является функция
~ DS 1 1 D/S2 1 А1 ! " \ ,, RX 1 * R'iS2 4- А " ''
7 ИДЕАЛЬНАЯ РЕЗОНАНСНАЯ ПРОБЛЕМА
267
где А, В, В'-постоянные величины, а б = х-хо. Мы будем считать А > 0.
Случай А < 0 получается из рассмотренного ниже случая очевидными
модификациями. Оставшаяся часть гамильтониана может быть записана в виде
ряда Фурье, коэффициентами которого являются полиномы относительно б:
Н = Hi + Я2 + Я3 + ... (5.7.5)
Каждая функция Нр имеет конечное число членов относительно
б, но тригонометрических членов может быть бесконечно много. Будет
также показано, что функцию (5.7.5) можно привести к виду (5.7.4),
который соответствует так называемой идеальной резонансной проблеме.
Такая редукция будет вкратце описана в конце настоящего параграфа.
Рассмотрим теперь систему уравнений, соответствующую гамильтониану
(5.7.1), который перепишем в виде
Нг == F = ВЬ 4- L-B'b2 4- A cos у - С - const, (5.7.6)
пренебрегая членами порядка выше 0(e). Отметим, что мы считаем
максимальное значение В величиной порядка 0(е1/2), величина В' конечна и
не мала, т. е. порядка 0(1), а А = 0(e). Уравнения движения,
соответствующие намилътоннану (5.7.6), имеют вид
С _ dF • _ dF
ду' У ~ дЬ ' (5.7.7)
Очевидно, что уравнения (5.7.7) имеют равновесные решения
б = - -§г- У ~= 0, я, (2л).
и также очевидно, что решение у = л, б = -В/В' является центром, в то
время как решения у = 0, 2л и б = -В/В' являются неустойчивыми
(седловыми) точками. Пусть при t = О имеем б = 0, у = л.
Определим т\ ---- у-л. Тогда гамильтониан
(5.7.6) при С = -А + const принимает вид
F =ВЬ + у?'б2 + 24 sin2 у т]'. (5.7.8)
который является новым "интегралом энергии". Наконец, пусть даны формулы
2А =о^2 = 0(е),
описывающие каноническое преобразование (б, i/)->>(§, г|).
268
ГЛ V РЕЗОНАНСЫ
Отсюда следует, чго
F =
I2 + со2 sin2r|,
(5.7.9)
где в соответствии с вышеупомянутыми начальными условиями при t = 0 имеем
ц = 0 и g = 2В/В', т. е. значение F вполне определено. Теперь становится
яспа важность аналогии с маятником.
Положениями равновесия системы с гамильтонианом (5.7.9) являются точки:
устойчивая (центр): г| = 0, 1 = 0;
неустойчивые (седла): г] = ±я/2, 1 = 0,
н мы считаем ||| = 0(еи2).
Если это же преобразование проделать над введенным выше полным
гамильтонианом, то мы найдем
где функции Fh(b- 2г]) являются рядами Фурье относительно 2г\ и их
кооффициенты являются полиномами относительно
Решение главной (идеальной) задачи, соответствующей функции Гамильтона F,
хорошо известно и получено с помощью метода Цейпеля (см., например,
[48]), а аналогия с маятником детально разработана Кинером [52]. В первой
из упомянутых работ приводится решение для приближений любого порядка,
хотя в общем случае это приводит к появлению гиперэллиптиче-ских
интегралов. Решение для приближения первого порядка (члены 0(е1/2)) в
основном такое же, как и в § 5 настоящей главы.
Основное отличие от описанного выше подхода заключается в том, что вместо
использования колебательного центра исходной системы в качестве начальной
точки для полученпя разложений вида (5.7.2) можно использовать
произвольную точку xq. Эта точка х0 может быть взята и из области
колебаний, и из области вращений. Однако ее нельзя взять на сепаратрисе
или принять за нее неустойчивые точки, так как в этих случаях разложение
ие может быть сходящимся и в действительности оно лишено смысла. Эти
движения можно получить только как предельные случаи вращений или
колебаний. Такие предельные случаи первоначально изучались Пуанкаре [68],
а самые последние исследования описаны в статье Гарфинкеля и др. [29,
30].
Интересно посмотреть, как эту задачу можно решить с помощью рядов Ли.
Рассмотрим, например, подход Ли - Хори. Главной частью в Н является
функция F, и она является га-
H = F + 2Fk (?, 2т!),
(5.7.10)
k
7. ИДЕАЛЬНАЯ РЕЗОНАНСНАЯ ПРОБЛЕМА
269
мильтонианом дополнительной системы
ф- = 1^. = О)2 sin 211. (5.7.11)
dr дг\ dr 05
так что мы получаем уравнение маятника
-2w2sin2ii =0.
Различие между колебательным, вращательным пли асимптотическим характером
движения в конечном счете определяется начальными условиями или, по-
другому, значением интеграла энергии (5.7.9) и значением | или г) в
некоторый момент т. Хорошо известно из теории простого маятника, что
значение энергии определяет тип движения. Одинаковое описание всех типов
движения, как приближение к некоторому истинному движению, определяемому
возмущениями (5.7.10) гамильтониана F, имеет сомнительное значение. Эти
возмущения можно надлежащим образом подобрать в областях колебаний и
вращений, т. е. достаточно далеко от сепаратрисы. Возмущения
