Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
?p.v (Х + dx) — ^nv + ^v, р6Р-
(74)
(76)
(77)
P им а но в а геометрия
105
Сказанное нами лучше всего проиллюстрировать на примере геометрии плоского пространства — времени частной теории относительности. При введении в таком пространстве декартовых координат метрика во всех точках многообразия принимает форму (50). (Для опре-» деления векторов Киллинга нет необходимости использовать декартовы координаты; для этой цели пригодна любая система координат. Ho в случае декартовых координат уравнения Киллинга значительно упрощаются.) Если пространство плоское и координаты декартовы, то ковариантные производные, фигурирующие в уравнении
(77), переходят в обычные. В этом случае наиболее общее решение будет иметь вид
= eHVjfv+V (78)
где e^v—произвольная постоянная антисимметричная матрица, а — четверка произвольных чисел. Как с очевидностью следует из этой формулы, определяемые ею ? служат операторами инфинитезимальных неоднородных преобразований Лоренца.
Подобным же образом можно находить векторы Киллинга, связанные с другими метриками. В случае метрики Шварцшильда одно киллинговское поле представляет трансляцию по времени. Следовательно, метрика Шварцшильда симметрична во времени, т. е. статична. Другое, шестипараметрическое поле Киллинга представляет вращения в пространстве, и, следовательно, шварцшильдова метрика также сферически симметрична. Подчеркнем еще раз, что векторы Киллинга являются геометрическими объектами, которые характеризуют некоторую присущую пространству симметрию и потому совершенно не зависят от способа координа-тизации рассматриваемого многообразия.
На этом мы заканчиваем краткий обзор тензорного анализа и дифференциальной геометрии. He претендуя на полноту и строгость изложения, мы хотели лишь обратить внимание читателя на основные идеи тех областей геометрии, которые играют важную роль в общей теории относительности. Более детальное рассмотрение этих вопросов он найдет в литературе, список которой прилагается ниже.
106
Глава 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Schroedinger E., Space-Time Structure, Cambridge, 1960.
В этой небольшой книге, отличающейся чрезвычайной ясностью изложения, читатель найдет подробное обоснование многих результатов, изложенных нами лишь в самых общих чертах.
2. W е у I H., Space-Time-Matter, New York, 1950.
Эта книга до сих пор является одной из фундаментальнейших монографий в области математической физики и содержит исключительно глубокий анализ теории относительности и геометрии, несмотря на то что первое ее издание появилось в 1918 г. В нашей лекции мы во многих случаях следовали трактовке Вейля.
3. Pauli W., Theory of Relativity, New York, 1958 (имеется перевод предыдущего издания: В. Паули, Теория относительности, ИЛ, 1947).
В этом прекрасном обзоре теории относительности дается сжатое, но четкое изложение аппарата римановой геометрии.
4. E і s е n h а г t L. P., Riemannian Geometry, Princeton, N. J., 1926 (2nd ed., 1949) (имеется перевод первого издания: Л. П. Э й з е н х а рт, Риманова геометрия, ИЛ, 1948).
Книга представляет собой хорошо написанный учебник по курсу римановой геометрии. Часть материала книги выходит за рамки обычной университетской программы; к сожалению, не рассматриваются последние работы в данной
области.
5. W і 11 m о г е Т. J., An Introduction to Differential Geometry,
Oxford, New York, 1959.
В книге хорошо излагаются результаты многих исследований в области дифференциальной геометрии.
6. Александров П. С., Elementary Concepts of Topology, New
York, 1961 (см. также: Александров П. С., Ефремо-
вич В. А., Очерк основных понятий топологии, М.—Л., 1936).
В этой книге дается превосходное введение в топологию. Основные идеи топологии излагаются так, что они становятся интуитивно ясными, чему способствует обилие иллюстраций. Стиль книги — полная противоположность абстрактной манере изложения математических дисциплин.
Гравитация как геометрия (/): геометрия пространства — времени и геометродинамический стандартный метр
P. M A P Ц К E1 Д Ж. УИЛЕР
Каков реальный смысл искривленного пустого пространства?
В теории Эйнштейна гравитация рассматривается как проявление геометрии искривленного пустого пространства. Какая другая мысль может показаться менее удобоваримой?! Ведь и просто искривленное пространство очень трудно себе представить, а говорить об искривленном пустом пространстве- вообще кажется нелепым. Как же найти реальную почву в таком «безвоздушном» представлении?
Наглядный пример геометрии искривленного многообразия
Рассмотрим упрощенную картину, в которой более выпукло проявляются те же вопросы. Допустим, что дано перечисление названий городов. Пусть дана таблица расстояний между этими городами. Как узнать, что эти города расположены на искривленной поверхности, а не на плоскости?
Возьмем, например, крупнейшие аэропорты мира: Азорские острова, Берлин, Бомбей, Буэнос-Айрес, ... . Будем писать их сокращенно: АЗ, БЕ, БО, БА, ... . Начнем с того, что составим таблицу расстояний между этими аэропортами в виде матрицы, разделенной на строки и столбцы, как это сделано в табл. 3.1.
