Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
fi> _ Pf </?“( P'" р""
Фиг. 2.2. Построение геодезической путем последовательного инфинитезимального параллельного переноса вектора.
вектора dx»(P)/ds, перенесенного в точку Р\ должны совпадать с компонентами вектора dx^/ds в точке P
d^(P) гц djfi . ал»(ґ) , п)
ds 1P°ЧГах — Ts • ^
Разделим это уравнение на величину As смещения от P до P' и перейдем к пределу при As->0. Получим
HmJ ** + г» jg. ^ } = о, (44)
или
d2jp , ги dxP dx0 _n _
Это — уравнение геодезической линии в той форме, когда в качестве параметра, изменяющегося вдоль кривой, берется инвариант s. Интересно отметить, что данное уравнение получено без использования понятия метрики. При таком способе построения геодезических
1J Выражение пока лишено смысла, так как нет метрики и нет
понятия расстояния. Поэтому его следует принять лишь как аль тернативное к понятию «бесконечно близкое». — Прим. ред.
92
Глава 2
параметром s можно пользоваться для сравнения длин двух интервалов, лежащих на одной и той же кривой, но не на двух различных кривых1).
В плоском пространстве можно добиться, чтобы величины Г были равны нулю во всем пространстве, и уравнение (45) геодезической линии примет вид
-?-=0- («) Это — уравнение прямой. Данный вывод отражает внутреннее свойство пространства и не зависит от выбора системы координат, оставаясь в силе, даже если величины Г не равны нулю. Если существует какая-либо система координат, в которой все Г тождественно равны нулю, то пространство плоское и геодезические линии прямые.
1J Это рассуждение не отличается точностью определений, терминов и метода. Дело обстоит так. Если контравариантный вектор Vа в пространстве со связностью Г все время смещается
псевдопараллельно по своему собственному направлению, то получится кривая, называемая геодезической линией, которая в этом смысле «прямейшая» и зависит, очевидно, только от направления Vat но не от него самого (т. е. pva образует ту же геодезическую). При произвольном параметре t величина SvaIdt=0 (б/d —- абсолютная производная). Если вектор Va=Ot (dxa/dt) (коллинеарен касательному вектору), то
і га _ dx^ d
dt2 "Г I di dt — dt dt 'HO-
Jl
Отсюда следует, что геодезическая зависит только от Г^. Введем новый параметр z=z(t) так, чтобы правая часть обратилась в нуль. Для этого необходимо и достаточно, чтобы (dQz/dt2) -H +[(d!dt)\n a](dz/dt) = 0. Отсюда искомый параметр определится с точностью до целого линейного неоднородного преобразования с постоянными коэффициентами. Всякий такой параметр называется аффинным или каноническим параметром. По самому определению этот параметр не зависит от понятия «метрики», и именно поэтому его нельзя использовать для сравнения «длин» на одной или разных кривых до введения метрики; но и после того, как это сделано, на изотропных кривых канонический параметр не позволяет сравнивать длины. Ho всегда такой параметр, как и всякий другой, впрочем, дает возможность устанавливать на кривой понятия «раньше», «позже», «между». — Прим. ред.
P и м а но в а геометрия
93
Существует простой критерий, позволяющий выяснить, можно ли найти систему координат, в которой все Г обращаются в нуль. Этот критерий состоит в том, что любой вектор будучи параллельно перенесенным по замкнутой кривой, должен по возвращении в исходную точку принять свое первоначальное значение. Вообще же это может и не иметь места (фиг. 2.3).
Фиг. 2.3. Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру.
Для того чтобы вектор А» вернулся к своему начальному значению, необходимо, чтобы
§1% ^fds = 0. (47)
Более удобным критерием неискривленности пространства, связанным с интегрированием, будет так называемый тензор кривизны 1J
В = Гкк, ц Ч” Г*хц, К 4“ Га^ГГацГ(48)
Можно показать, что 1) величина B1x^ является тензором, и 2) если B1xXpl = 0 сразу повсюду, то существует система координат, в которой все Г обращаются в нуль во всем пространстве, т. е. пространство будет плоским. Этот тензор играет важную роль в римановой геометрии, а следовательно, будет занимать существенное место и в общей теории относительности.
1) Тензор Римана у некоторых авторов. — Прим. ред,
94
Глава 2
Метрический тензор
Согласно основному положению общей теории относительности, мировая линия свободной частицы в четырехмерном пространстве — времени является геодезической линией. Аффин-ная связность определенным образом выражает геометрические свойства пространства, а следовательно, связана также с гравитацией и с динамическими свойствами. Ho для описания геометрии недостаточно одних геодезических. Нужен еще способ, позволяющий сравнивать расстояния вдоль различных геодезических. Для этого нам нужно установить, каким образом определяется инвариантное расстояние между каждой парой точек пространства.
Как уже упоминалось, всегда можно найти такую систему координат, в которой связности Г обращаются в нуль в некоторой данной точке. Малая область пространства в окрестности этой точки оказывается подобной плоскому пространству 1J, и мы можем ввести здесь метрику частной теории относительности. Это означает, что можно стандартным образом, известным из частной теории относительности, определить пространственно-временное расстояние между близкими точками. Оно дается формулой
