Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Ковариантное дифференцирование контравариантно-го вектора осуществляется по следующему правилу:
В% = В% + r%vB9. (33)
Оно удовлетворяет требованию
(AptB );v = A^yjB -|- AyiBtV (34)
Далее в настоящей главе мы везде будем принимать, что связность Г симметрична по нижним индексам:
ITv = Г?р. (35)
1) Это неверно: в такой геометрии еще нет понятия «метрики» и, следовательно, нет пространства Минковского. — Прим. ред.
2) Следует добавить: «и записанный в декартовой системе ко-
ординат», так как при отличии системы координат от декартовой
(например, в сферической системе$ Г JJv =^O даже в плоском мире,
и следует пользоваться общими формулами, как это делает, на-
пример, В. А. Фок. — Прим. персе.
88
Глава 2
Параллельный перенос; геометрический смысл ковариантного дифференцирования
Тепарь мы опишем другой способ введения аффинной связности, более наглядный с точки зрения физики. Он связан с понятием параллельного переноса вектора и с определением производной для векторного поля.
Л Am
перенесе н ньі й )
АМ(Р')
P'(Xr+ 4х°)
Фиг. 2.1. Параллельный перенос вектора.
Обычно производная некоторой функции определяется как предел
||ш К,=іН?І, (36)
д*-»о Axv дху
где f(xv + kx?)—/(a;v)—разность значений функции f в двух соседних точках Pr и Р. Ho для векторного поля такое определение непосредственно не применимо. Операция вычитания векторов, взятых в разных точках, не имеет смысла, так как, вообще говоря, векторы в различных точках преобразуются по-разному. Чтобы устранить это препятствие, мы должны определить операцию параллельного переноса вектора из одной точки P7(JCflr-I-AJCa) в соседнюю точку Р(х°) (фиг. 2,1). Компо-
Pиманов а геометрия
89
ненты вектора полученного в результате парал-
лельного переноса А»(Р') из Pf в Р, можно записать в виде
Air(P7) = Aft(Pz)-SAtl. (37)
Величина 8А*1 не является вектором. Вид этой ве-личины определяется следующими требованиями: А»(P') должен преобразовываться как вектор в точке Р; А^(Р') должен преобразоваться как вектор в точке P'; 8А^=0, если А*1=0, и 8А^=0, если Aat0=O.
Простейшей функциональной формой, удовлетворяющей этим трем условиям, оказывается следующая билинейная векторная форма:
6АЦ =-I^ApAxa. (38)
где Гра—некоторая новая величина с тремя индексами, которая и определяет операцию параллельного переноса вектора. Вместе с изложенными выше требованиями и соотношением
dx'v (P') dx'v (P) d2x'v (P) д.
дх» дх» ^ дх» дха
выражения (37) и (38) определяют закон преобразования величины Гр„. Этот закон совпадает с законом преобразования (31). Следовательно, при введении аффинной связшсти на основе понятия параллельного переноса мы получаем такой же результат, как и в случае, когда мы исходим непосредственно из требования, чтобы операция ковариантного дифференцирования носила тензорный характер.
Продолжим теперь геометрическое описание операции ковариантного дифференцирования векторного поля. Чтобы получить ковариантную производную векторного поля в точке Р, необходимо сначала вектор, определяемый полем в точке P', перенести параллельно по некоторому пути в точку P в соответствии с правилами переноса (37) и (38). Вычитая затем из него вектор, взятый в точке Р, получаем
ДАЦ = Ац (P) - Atl (P) = Ац (P') - 6АЦ - Ац (P). (39)
90
Г лав а 2
Поскольку Aix (P') и ЛЦ(Я) определены в одной и той же точке, их разность тоже будет вектором. В случае малого Дх® можно записать
Atl (P') = Ax0 + Av- (P). (40)
Подставляя это выражение в формулу (39), получаем А = А» + Ax0 + Т%А9 Axa — Ayk. (41)
Ллг
Ковариантная производная представляет собой предел отношения этой разности к величине Axa, характеризующей «расстояние» между точками:
Af0 = Hm 44 = +ГраЛр. (42)
Введение геодезических линий в отсутствие метрики
Итак, понятие аффинного пространства связано с понятием параллельного переноса. Опираясь только на это понятие без использования метрики, можно построить геодезические линии, поступая следующим образом: взяв за исходный какой-либо вектор инфинитези-мального смещения в точке Р, лараллель/но перенесем этот вектор вдоль его собственного направления в точку P'. Это даст новый инфинитезимальный вектор в точке P7, который можно в свою очередь параллельно перенести вдоль самого себя в точку Р". Продолжая этот процесс, мы получим ломаную линию, изображенную на фиг. 2.2. Таким образом можно осуществлять параллельный перенос вектора dx» из любой данной точки в другую. При переходе к бесконечно малым смещениям ломаная линия перейдет в непрерывную кривую. Эта кривая будет исходить из точки P в определенном направлении и идти далее к другой точке, расположенной
P и мано в а геометрия
91
на конечном расстоянии*) от исходной. Такая кривая называется геодезической линией.
Введем теперь некоторый параметр для обозначения точек вдоль кривой. Выберем параметр s таким образом, чтобы он преобразовывался как скаляр и имел инвариантные значения в точках P и Pf. Тогда величина dxv/ds будет вектором. Согласно условию, которому должна удовлетворять всякая геодезическая, компоненты
