Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Изменим несколько наши обозначения. Обозначим А0 = -а0е. Тогда
Ьр = -а0е cos (ct -не) - Ц maQe cos [(с - 2) т -н е], (V. 133) где
1 ^2
с = 1 -+- т - tn т
Хилл нашел для с следующее числовое решение: с = 1.07158 32774 16012,
которое соответствует принятому значению параметра т т - 0.08084 89338
0813.
- 246 -
Переходим к интегрированию второго уравнения (V. 92). С точностью до
первых степеней малых величин оно имеет вид
^ = -2 (1 -+- т) Ьр = 2 (1 -+- т) а0е cos (ct + е) +
~та0е cos [(с - 2) t -t- г]. (V.134)
Интегрируя и замечая, что с - 1-t-m, так что с - 2 = - (1 - т), получим
os = 2а0е sin (ct -+- е) -та0е sin [(с - 2) т -+- е]. (V. 135)
Полагаем постоянную интегрирования равной нулю, так как при с = 0
движение происходит по вариационной кривой.
Чтобы понять физический смысл нашего результата, рассмотрим решение при
/п = 0, т. е. случай когда отсутствуют солнечные возмущения. Тогда
8р = -а0е cos (ct -+- s), 8s = 2a0csin(ct-i-e). (V. 136)
На невозмущенной орбите jr = a0cost, "/ = a0sint, так что Ф = т и
Sjc = Ьр cos Ф - 8s sin Ф,
8i/ = S/jsin(r)-i-8scos(r), (V. 137)
Sjc = -a"c cos (ct -+- е) cos t - 2a0 с sin (ct -+- е) sin
> / \• о ¦ / \ (V.138)
Ьу =-а0е cos (ct ¦+-е) sin t 2a0c sin (ct -+- е) cos t.
Поэтому, полагая X=x-t-bx, Y-у-л-Ьу, Х= R cosq, Y= R sin q, получим
Поэтому
X=a0 [cos t - с cos (ct -i- e) cos t - - 2c sin (ct -+- e) sin t],
Y=a0 [sin t - e cos (ct -+- e) sin t -t--+- 2c sin (ct -i- e) cos t].
Я2 = a* [1 - 2c cos (ct -+- e)]
(V.139)
или
R = fl" [1 - с cos (ct4-s)] = -e cos°(cT __ 0 - 247 -
о (1 - е2)
(V. 140)
1 -+- е cos v 1 -+- е cos М •
Далее имеем
cos д = cos t - 2е sin (с1: -+- е) sin t, sin q = sin t -+- 2е sin (ct -
+- е) cos t,
поэтому
sin (g - t) = 2e sin (ct -+- e),
что дает
</ = t 2e sin (ct -н e). (V.141)
Уравнения (V. 140) для R и (V.141) для q имеют в первом приближении такую
же форму, как радиус-вектор и истинная долгота в невозмущенном
эллиптическом движении. Таким образом, видим, что если пренебречь
солнечными возмущениями, полагая т = 0, то е может быть отождествлено с
эксцентриситетом и ct -+- е - со средней аномалией.
Возвращаясь к нашему решению и опуская опять для простоты множитель а0,
получим из (V. 133) и (V. 135)
15
Ьр = g- те cos [(с - 2) t -+- е] - е cos (ct -+- е),
8s = - те sin [(с - 2) т -+- в] -+- 2esin(ct -+- е).
(V. 142)
Так как cosФ = cost и sin(r) = sint с точностью до первых порядков малых
величин и
8дс = Ьр cos Ф - 8s sin Ф, 8^ = Ьр sin Ф -+- 8s cos Ф,
то
Ьх = - ^ те cos [(с - 2) t -+- в] cos t -
- е cos (ct -+- е) cos t -+-+ jme sin [(c - 2) t-i- e] sin t -
- 2e sin (ct -+- s) sin t, by= - Yme cos Kc - 2) t -+- e] sin t -
- e cos (ct -i- e) sin t -
- j/пеsin [(c - 2)t + e]cost -H -i- 2e sin (ct -+- e) cos t.
- 248 -
(V.143)
(V.144)
Пусть теперь JT=jc-i-8jc и Y=y -*-Ьу, тогда X = cos t ^ 1 -+- тг - у m2
sin2 т -
- у me cos {(с - 2)т + е} - е cos (ct -+- е) J -t--t-sin 1?y mesin {(c -
2)t ч-e) -
- 2c sin (ct -+- e)J ,
Y = sin t j^l -+- m2 -+- у m2 cos21 -
- у me cos {(c - 2) t -+- e) - e cos (ct -+- e) J-
- cos 1?y me sin {(c - 2) t -i- e) -
- 2e sin(ct H- e)J .
Для Ri = Xi-*~ К2 получим с той же степенью точности
R2 = cos21 j^l - 2/п2 - у m2sin2t -
- у те cos {(с - 2) т -+- е) - 2с cos (ct -+- е) J -+--+- sin21 j^l -+-
2m2 -+- у /п2 cos21 -
- у me cos {(c - 2) t -i- e) - 2c cos (ctH-e)Jn-
-+- sin 2t ?y me sin {(c - 2)t -+- e) - 2c sin(ct -+- e) J -
- sin 2t j^y me sin {(c - 2) t -+- e) - 2c sin (ct -+- e) J
или
15
/?2 = 1 - 2/n2cos2t - у me cos {(c - 2)t + s} -
- 2ccos(ct-i-e). (V. 145)
Отсюда, восстанавливая множитель a0, который был опущен для краткости,
R = а0 [Ч - с cos (ct -+- е) - у me cos {(с - 2) т -+- е) -
- 249 -
Это выражение дает нам радиус-вектор Луны. Остается найти долготу Луны.
Умножая выражения для X и У на т. е. на
1 -+- е cos (ct н-е) +j те cos [(с - 2) t ч- е] ч- т2 cos 2t и помня, что
т2 cos 2t = т2 - 2 т2 sin2 t = 2m2 cos2t - т2, получим
cos<Jr = cost^l -^ т2 sin2 t J ч-
-+- sin t ^ те sin {(с - 2) t -+- е) -
- 2е sin (ct -+- е) J , sin q = sin t ?l + jm2 cos21J -
cos t me sin {(c - 2)t + e} -
2e sin (ct -+- e)"j,
(V.147)
in (q -1) = ^ m2 sin 2t - ^ me sin {(c - 2)t + e}-
откуда
s*n 0
-+- 2e sin (ct ч- e)
или с принятой степенью точности
q = t ч- ^ т2 sin 2t - ^ те sin {(с - 2) t ч- е) ч-
ч- 2е sin (ct ч- е). (V. 148)
Преобразуем теперь вти результаты к обычным обозначениям.
Пусть L и v - средняя и истинная долгота Луны, L - средняя долгота
Солнца. Тогда q - истинная долгота Солнца относительно движущихся осей.
Имеем
v - q-i-L1.
(V.149)
Итак,
L' = {n - ri)t-*-rit = L,
x = L - L'.
(V.150)
Мы видели, что схч-е- средняя аномалия Луны, или L - и, поэтому
(с - 2) t -н s = L - я - 2 (L - L1) = - (L -н я - 21!). Подставляя эти
значения в выражения (V. 146) для R и (V. 148) для q, получим, замечая,
что а0 =¦ а ^1 - -g- т2^ " /? = a ?l -\ т2 - еcos (L - к) -
-^ mecos(L - 2 U -+-")-/n2cos2(L - Z/)J, v - L -+- 2e sin (L - ") -+--+-X
