Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
которым удовлетворяют Ьх, 8у, можно записать так:
Рис. 14. Орбита бесконечно близкая к вариационной кривой.
8х - 2т by -+- kb - 3/п28х = О, by -+- 2т Ьх -+- kb ) = 0.
(V.49)
15 Г. А. Чеботарев
- 225 -
Однако исходить непосредственно из этих уравнений неудобно. Поэтому
заменим Ьх и Ьу нормальным и тангенциальным смещениями Ьр и 8s (рис. 14).
Пусть Ф - наклон наружной нормали вариационной кривой к оси х. Тогда
Ьх = Ьр cos Ф - 8s sin Ф, Ьу = Ьр sin Ф -i- 8s cos Ф.
(V. 50)
Умножаем первое из дифференциальных уравнений (V. 49) на cos(r) и второе на
sin Ф и складываем; а затем умножаем первое из уравнений (V.49) на sin(r) и
второе на cos(r) и вычитаем. Получим
л d2bx . л d2by COS Ф ~j~z HSUl(r)-^
d т2 - sin(r)
-2m
[^cos Ф
dby
d t
dbx ' dz
- J -+- k cos Ф8 ("-y j ¦+" -+- k sin Ф8 ^jg- j - 3m2 cos Ф8дс = 0,
¦ cos
Ф
dbx
dz
}
: sin
Ф8
(*)-
¦ k cos Ф8 ^-pj-j -+- 3 m2 sin Ф8дс = 0.
(V.51)
Из (V. 50) имеем Ьр = 8дс cos Ф -+- by sin Ф, 8s = -8дс sin Ф-t-by cos Ф.
(V. 52) Поэтому
dip л dbx . . А dby .
---¦ cos Ф -tz-l-sin(r)-т~-I-
dz
dbs
dz
dz
d Ф
¦ (-8дс sin Ф -+- by cos Ф)
dz
-Sin(r) -+- cos Ф -
dz
dz
</ф
- (8дс cos Ф-4-Si/ sin Ф) -pp.
(V. 53)
Два выражения в квадратных скобках, которые входят в уравнения (V. 51),
могут быть записаны так:
- 226 -
COS ф
sin(r)
dbg
dx
dbg
¦sin Ф
dbx
dx
-l-COS(r)
dx
dbx
dbs ^ </Ф
-dT + °P-d7
dbp
dx
OS-
d Ф
dx
(V. 54)
Если мы продифференцируем эти выражения, то получим первую группу членов
в уравнениях (V.51).
Меняя порядок уравнений, получим
rf28p dbs </Ф
ff. d2bx . л rf28u
COS Ф -+- sin Ф ¦--
dx 2 </2ф
rfx2
dx'i
dx dx
rfx2 rf28p
rfx2
-2??-*(?7-
• it" л, rf28p
-sin Ф ^,2 H-cos Ф
rf28s
</2ф
'¦З^г
dbp
d<t>
dx
а ^2ф
8/>-гз-Н-
rfx* rfx*
dbg
dx
dx 2
(sin(r)
rfx
л rfojr \ </Ф rf28s Jod </Ф
-+- COS ф -7- J -j- = -rr -4-2 --r~ J-
ax / rfx rfx* rfx rfx
-ЧЗгУ-м#.
(V. 55)
Подставляя (V. 55) в (V. 51), получим уравнения в форме
rf28p
чт
+ ш| -
rfx 2
X
( d<b I rfx
2 m
dQ_
dx
]-*
dbs
dx
X
* </2Ф .
os ^_2 -+- к cos
к sin Ф8 (-д-j - 3m2 cos Фол: = 0,
* Г/</Ф \2 _ rfФ 1 _ dbp w
rfx2 4l^)^2m"rfd_H2'rff x
X ---к sin(r)8(-4^-"-
rf20S
V rfx
-л-к cos Ф8 (3m2 sin Ф8л: = 0. Напишем теперь интеграл Якоби
"'-(?M*)'-*-s**,-c-
- 227 -
(V. 56)
(V. 57)
15*
Варьируя, получим
dx dbx dy dby dz dz *
dz dz
5-8/4- Зт2хЬх. (V. 58)
Вариация 8C=0, так как мы будем предполагать, что постоянная С имеет для
смежных орбит то же значение, что и для исходной вариационной кривой.
Теперь
dx . А du "
-^- = -i/sin(r), -37 = V COS Ф,
dbx
dz
dby
:COS
dz
dz
¦ 8s cos Ф
(V.59)
d4>
dz
dz
-+
Поэтому
dx dbx dz dz
. ff. dbs . " dФ
-втФ-^-втФ*"-^,
: sin Ф - 8$ sin Ф dz
dz dy dby
dz
¦T, dbs d<t>
COS(r)-^--+-COS(r)8P~fo •
(V.60)
dz dz
V
' dbs
\ dz
Итак,
kbr
- -3- (xbx -+- yby) = _ (8p cos Ф -
- 8s sin Ф) - pjp (bp sin Ф -1- 8s cos Ф) =
?
=-------[8/? (xcos(r) -*-y sinФ)-+-
-i-8s(-xrsin(r)-i-^cos(r))]. (V. 61)
Тогда, оставляя член Зт2хЬх в его первоначальной форме, получим вариацию
интеграла Якоби в форме
/ dbs 5. dФ \
-(•* cos Ф -+- у sin Ф) -+-
-+- 8s (-х sin Ф у cos Ф)] -+- Зт2хЬх. (V. 62)
Прежде чем мы сможем решить дифференциальные уравнения (V. 56) для 8р и
8s, необходимо выразить все
- 228-
остальные переменные, входящие в эти уравнения, через х с помощью
уравнений, полученных в § 1, раздел 3.
2. Преобразование уравнений (V. 56). Наша задача заключается теперь в
том, чтобы преобразовать дифференциальные уравнения (V.56) таким образом,
чтобы туда входили только переменные 8/>, 8s и т. Тогда мы сможем решить
эти уравнения относительно Ьр и 8$ в функции х. Имеем
r8r = jt8jt -+- yby = (х cos Ф -+- у sin Ф) Ьр -+--+- (-х sin Ф -+- у cos
Ф) 8s,
поэтому
cos(r)8(-jj)-i-sin(r)8 (-40 = -i-(Sjccos(r)-*-
3
-+- by sin Ф) - (x cos Ф -+- у sin Ф) r8r =
= -73- - 7? [(xz cos2 ф + y2 sin2 Ф -+-
-+- 2xy sin Ф cos Ф) bp -+- (-jc2 sin Ф cos Ф -+--+- xy cos2 Ф - xy sin2
Ф+j2 sin Ф cos Ф) 8s] =
= 7F -J [ {t (x2 ¦+¦ ¦+¦ Y (x2 - ff2) c°s 2 Ф-+-
-i- xy sin 2(r)J bp -+- j- -i- (x2 - y-) sin 2Ф -+-~i- xy cos 2(r)}8s] = -^-[
^ X
X cos2(r) -^sm2(r)]-X
X [ffi cos 2Ф - -g- - г-2-y sin2Ф]. (V.63)
Аналогично
-sin Ф8 -I- cos Ф8 (¦?) =
= (-8jt sin Ф-t-by cos - -pr (-x sin Ф -+- у cos Ф) rbr=
3
= -pi -pr [(-x2 sin Ф cos Ф - xy sin2 Ф -+- xy cos2 Ф -+-
-+- уг sin Ф cos Ф) bp -+- (x2 sin2 Ф -+- у2 cos2 Ф -
- 2xy sin Ф cos Ф) 8s] =
- 229 -
=-^ -^-[{-T^2""^sin24,H"^cos 2Ф}8/,-+--+- {у (х2 -+- у2) - у (х2 - у2)
cos 2Ф - ху sin 2Ф18s J =
= \~?Г cos 2Ф у -~i~ sin 2Ф ] -+-
н-^-[-Тн-Т^!7Г^С082Фн-^-51п2Ф} (V*64)
Члены Зт25*^Фв (V.56) будут рассмотрены в дальнейшем (стр. 235).
Следующий шаг будет заключаться в подстановке в дифференциальные
уравнения (V. 56) значений х, у и Фг которые соответствуют невозмущенной
орбите. Для простоты опустим линейный множитель а0. Он может быть легко
восстановлен в случае надобности.
Из уравнений (V. 41) и (V.42) нам известно, что