Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пренебрегая степенями ax и a_t выше первой, получим г2 = 05 [l ч- 2 -i~=L
cos 2х] ,
Д- = (*1 - 3 а* --3.- cos 2х 1 =
г3 "о I "о J
= -* П-З a'^T"-xL-H6 °1-a-1 sin2x~[ =
"8 L "о "о J
= -1 П ч- 3 _ 6 cos2 xl,
"3 L O0 a0 J
kx k Г., 2a, ч-2а_, 2a, ч-6а_, . a ~1
T = "5COS x 1------------2----------2-4--1 -sin2x ,
r3 eg L о о "о J
ky k . Г-i 2a, ч-2а_, 2ai ч-6а_, "> "1
-=- = - Sin x 14-------------------------1-4---1 COS" x
г" ад L Oo °0 J
(V.30)
dt4-x
ao °o
= -[(a0 4- a_j) cos x ч- 9a! cos 3x] =
= -cos x [a0 4- 9 al 4- a_j - 36a! sin2 x],
0 = -[(a0 - a_j) sin x4-9alSin 3x] =
= -sin x [a0 - 9a! - a_j ч- 36ai cos2 x],
С необходимой точностью имеем
(V.31)
(V. 32)
Подставляя эти результаты в дифференциальные уравнения (V. 25), получим
Г 1 36 а I
COS х I -1-----------L Н ^ X
"О
°о
X sin4 -2т ч-4(1 - 2012°-1
<4 v °о ^2sin2 _ 3m2] = О,
1-н
9о| н- а j
Збох
а" sin х ?-
v. о л i Л 2oi ¦+¦ 2ом1
X cos- х - 2m -I-г-11 н-J ----------------
а3 \ а0
2а 1 -нба_1 " \~|________
о О
COS
')]="•
(V. 34)
Приравнивая нулю коэффициенты при cos х, cos х sin2 х,
,2 -
sinx, sin х cos х, получим
1 9ai -+¦ 0-1
"о
-2m-
-4~(l - 2о1-*-2о-Л - 3m2==0, a2 V "o )
л 9oi +o",i л
-1h ------------2m-"-
t- (1 + 2°1 + 2a-i \ _ о
о °0 >
36o) t к /гах-нба^Ч q \ o0 J
(V. 35)
°o
Имеем три уравнения для определения , -
аи °0
и Половина суммы и разность первых двух урав-
нений дают
-1 - 2т------------1-т2-1-Д- = 0,
л 0,1
9ai -I- а 1 ^ 2к Q\ ¦+¦ о__\
а0
о3о
"о
- 222-
-н-тгт2 = 0.
(V. 36)
Отсюда с точностью до т2
н-|-/п2,
(V. 37)
-^- = 14-2/пн-§-/п2,
llofi Зо 1 ________ 3 о
---I-----------L = --яглг.
Од Од ^
Наконец, из третьего уравнения (V. 35) имеем
19ац . Зо_
- = 0. (V. 38)
<*0 °0
Вычитая второе уравнение (V. 37) из (V. 38), получим
8<*i 3
Од
-т2. (V. 39)
Итак,
-2L = -^т2, ±=L = -(tm)m\
Од 16 1 вд 16
-5г- = 1 ч-2/77-i-т2.
"о 2
(V.40)
Отсюда
дс = а0^1 -/п2) cost-+--jg-/n2 cos 3xJ , у = а0 т2^ sin х -4--^- т2
sin Зх J
или в форме, более удобной для дальнейшего, х = а0 cosх Ц1 - т2--|-
/n2sin2x^ , у = а0 sin х Ц1 ч- т2 -+- т2 cos2 х J.
(V.41)
(V. 42)
Это уравнение овала, полуоси которого а0(1-т2) и а0(1 + /п2) направлены
вдоль и перпендикулярно к линии, соединяющей Землю и Солнце. Если г и 0 -
полярные координаты точки кривой, то
г2 = а2 [1 - 2 т2 cos 2х]( г = а0 [1 - т2 cos 2т]. - 223-
,.."0.1 (V.43)
Также
tg 6 = -J- = tg x [ 1 H- 2/л2 н--§- nr] =
= (lH--^-m2)tgT. (V. 44)
Отсюда
tg(6 - т) = г /n2 = m2 sin 2т, (V. 45)
тогда
6 = -: -i- -^-m2 sin 2". (V.46)
Если обозначить через а среднее расстояние, соответствующее среднему
движению л по невозмущенной орбите, третий закон Кеплера дает (постоянная
Гаусса равна единице)
пга3 = т0-*-т1 = к\>?. (V. 47)
Но
jL = "-",^",=sl + in.
(J. п - п
Отсюда (см. формулу (V. 40))
(1 -+- mf а3 = к = а3{\-л- 2т н-m^j ,
о3 1 + 2т + т^
оЗ" 1 '
1 -I- 2т Н- т2 н- ^
Окончательно
e0 = e(l-J-m*). (V. 48)
Мы получили соотношение между а0 и невозмущенным средним расстоянием а
(см. также приложение 8).
§ 2. Метод Хилла. Второе приближение
1. Орбиты, бесконечно близкие к вариационной кривой. Если положить лг
= 0, тем самым пренебрегая солнечными возмущениями, то получим jr =
a0cosT, у = = a0sinx, т. е. орбита будет круговой. Мы можем поэтому
рассматривать вариационную кривую как круговую орбиту, деформированную
солнечными возмущениями. Так
- 224 -
нормаль
вариационная
нривая
как круговая орбита - только специальное решение в задаче двух тел,
нельзя ожидать, что вариационная кривая дает нам реальное движение Луны.
Действительно, мы знаем, что Луна движется скорее по эллипсу с
эксцентриситетом '/го" чем по кругу или по вариационной кривой. Эта
кривая может поэтому служить только приближением к реальной орбите так
же, как круг служит приближением к эллипсу. Эл- |( липе с малым
эксцентриситетом может рассматриваться, как результат "свободных
колебаний" около круга; точно так же мы можем рассматривать реальное
движение Луны, как свободные колебания около вариационной кривой. Таким
образом, введем две новые произвольные постоянные, определяющие амплитуду
и фазу колебаний, и получим общее решение нашего дифференциального
уравнения (V. 25). Процедура совершенно аналогична той, которая
используется в динамике для определения малых колебаний около устойчивого
положения, т. е. Луна в начальный момент предполагается находящейся
вблизи вариационной кривой и ее дальнейшее движение определяется
относительно этой кривой. Вначале ограничиваются только первыми степенями
малых величин - приближение, которое соответствует первым степеням
эксцентриситета в эллиптической теории, а если это необходимо, то могут
быть сделаны дальнейшие приближения.
Предположим теперь, что Р{х, у)- координаты точки на вариационной кривой,
которую нашли, чтобы удовлетворить дифференциальным уравнениям движения,
и что Р'(х-ь-Ьх, уч-8у)- координаты Луны на ее реальной орбите. Тогда,
так как х, у удовлетворяют уравнения (V. 25), очевидно, что уравнения,
