Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
следуя кембриджским лекциям английского астронома Джорджа Дарвина (1845-
1912), сына великого естествоиспытателя Чарльза Дарвина. При этом мы
оставим в стороне теорию планетных возмущений в движении Луны, а также
вопрос о вычислении возмущений, вызываемых несферичностью фигуры Земли.
Иными словами, мы ограничимся решением лунного варианта задачи трех тел.
Приведем теперь геоцентрические элементы Луны, принятые Брауном (1866-
1938) в его таблицах движения Луны (см. также приложение 5)
Эпоха
1900 янв. 0.12 ч. всем. вр.
Х0 = 270?434164, п= 13?1763965269,
2 = 259?183275, е- 0.054900489,
/= 5?8'43"427,
тс = 334.329556.
2. Дифференциальные уравнения движения. Пусть /п0, /п, и т' - массы
Земли Е, Луны М и Солнца S и G - центр инерции Е и М (рис. 13). Пусть х,
у, z -
- 212 -
прямоугольные координаты М относительно Е,х',у', z'- координаты S,
отнесенные к параллельным осям с началом в G. Координаты точки М
относительно осей с началом в G, очевидно, будут
то . то " тп _ т0 +mj ' m0-t-mj т0-нт1 *
а координаты Е
т 1 m 1 /П]
--------! v---------------г----z/,------------- z,
mo + ffij /71ц ¦+¦ Ш] /Лц ¦+¦ /л j
Рис. 13. Компоненты ускорения Луны относительно Земли.
Расстояния ЕМ, ES и MS обозначим через г, rlt- Л соответственно.
Предположим, что G описывает кеплеровский эллипс вокруг S, так что х',
у', z' - известные функции времени.
Компоненты ускорения Луны относительно Земли показаны на рис. 13. Имеем
отсюда
dr ______ х
T 1
xf
/Л0 <?/*!______
/nj dx
xf -
fflo+m! f)A ___
m0 dx
ntix /71 q -f- /711 ri
mp*
/71Q -f- 7711
(V. 2)
Направляющие косинусы ?M: ^^ ^, направляющие косинусы ?5: (57 . ^ "
^7]" направляющие
косинусы MS: -m°^m' (^7" > ^7) • Обозначим через
X, Y, Z компоненты ускорения M относительно осей с началом в Е, тогда
/7*о *- /7* ] dr TTi' /По-•- /71 ] Я*' /Пд "+" ТП ] <?Г|
_
г1 dx Д- /п0 ^л* r'f mx dx
= ?• CV.3)
где
|^7____________ /Ир Л1] ^ 771 ^ /Г>о -¦- /71] ^ 771*
771Q -7" 771]
Г Л 771] Г] 711 j
Аналогично
К=- Z -- /V 41
' ду * *• дг" 'V-4'
Пусть г' - расстояние между G и т' и пусть Н- угол SGM; тогда
г" = х* + у'2ч-2'\ cos Я
XX -+- yy-t-zz
ri-
Д2:
2т
/HQ "*"/7li 2t7Iq /Hq -/Tlj
гг'COS Ян-f "У ¦)*
\ 771Q -1- 7711 /
гг'COS Ян-
\ 7710 Н- 7711 /
(V.5)
- 2/4
Так как г мало по сравнению с г', то
i=4{i
Г\ г' I
т,
/71q -I- /71 ^
^с°зЯ-н(-^-^г^)2Х
г \ то + Ш] г j
X (-|со82Я- у)},
Т==77{1 то+т, 7c°s^-"-( mu_^mi -pj X
X (-| cos2Я- у)}
/Л j) -I- /Л j 1
1 ч 1
т"Л mjrj
7Н--------------:
тцШд г т0-*-Ш| г'
X
(V.6)
l/=
Отсюда
m0-*-mi т (my -+-
т^пхуг
Л1])~ а т'г- (3 ч li 1 \ i\r п\ / г'3 (2 cos 2) ' ' ^
Второй член не включает х, у, z и может быть опущен. Тогда
Т 7 /Л 11 I /Л /Л I*(r) / 3 9 гг 1 \ >1 ; л\
^ = -7------*-7г(тС08'Я-т]' <V-8>
если отбросить члены с .
Найдем теперь приближенное выражение для 1/ с учетом тех упрощений,
которые могут быть сделаны для реальной системы Земля-Луна-Солнце. В
первом приближении г' = а' и GS вращается с постоянной угловой скоростью
п'. Другими словами, мы пренебрегаем эксцентриситетом солнечной орбиты, а
также тем фактом, что Земля и Луна не находятся в центре инерции (точка
G) (этот эффект очень мал). Для того чтобы координаты Солнца относительно
Земли были почти постоянными, вводим новые оси х, у, вращающиеся с
угловой скоростью п' в плоскости орбиты Солнца вокруг Земли. Ось х
выбирается таким образом, что проходит постоянно через Солнце. Ось z
перпендикулярна плоскости ху.
- 275 -
Как и раньше, пусть л:, у, z - координаты Луны; координаты Солнца будут
приближенно а', 0, 0. В этом приближении г cosH- х и
У = (V. 9)
Напишем теперь общее выражение для V вместо (V. 8) в следующей форме:
Т/ трЧ-тх . 3 т! "г . 3 _,( г-cos^ Н
v - г 2 а-3 х 2 т [ г* а>*)
-Т7 к"
и введем новые обозначения.
Пусть р - среднее синодическое движение Луны. Положим
m = -^ = -^-7. (V.11)
(X п - п ' '
Среднее движение Солнца ri в лунной теории считается известной
постоянной, тогда как среднее движе-
ние Луны п (или т) - одна из произвольных постоянных интегрирования,
которая может быть определена из наблюдений.
В случае Луны т приблизительно равно Vi"' Эта малая величина, по степеням
которой разлагаются возмущения, играет в теории движения Луны роль,
аналогичную возмущающей массе tri в теории планет.
Пренебрегая т0 и т, по сравнению с tri и полагая постоянную Гаусса равной
единице, имеем т =п~а , откуда = п'2 - р2/п2. Обозначим также mn~^m> = ?.
Тогда а' Iх"
мы получим вместо (V. 10)
V -+¦ y ri* (х2 -+¦ у2) = р2 -t-i- т (Зх2 - z2) -+-
-ь|-/п2(^г2со82Я-л:г)-н^/пггг(1 -^)]. (V. 12) Для удобства обозначим
2 = } /п2 г2 cos2 Я- л:2) -+- 1 mV (l - , (V. 13)
- 216 -
тогда
V -+- \ п'- {х- ч- у2) = р2 [ f -ну /п2 (Зх2 - z2) -"- Q ]. (V. 14)
Уравнения движения относительно системы коорди. нат, вращающихся вокруг
оси z с постоянной ско ростью п'
dV_
дх '
г\ ! dy ,2 dfi dt
d2y 0 ,dx -dfi-*-2ndT d'lz _DV
dt2 ~<)z '
,2 dV
n
(V. 15)
которые дают после подстановки выражения (V. 14)
