Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
где 1 (в качестве касательных векторов) следует интерпретировать как производные по направлениям, а структурные константы Ck выражаются через спиновые коэффициенты (уравнения (307) гл. 1). Значения спиновых коэффициентов даны в гл. 6 (уравнения (175)), при этом структурные константы в стационарной фоновой метрике равны
Cf = у -j- 7* = — гД/р4 (г — M)/р2; Cf =а* -j- P — я* = 0;
CV = є + є* = 0; Cf — х = 0;
Cf = — (т* + я) = —-^2iar sin 0/р2р*; Cf = — (р* -j- є — є*) = 1/р;
Cf = — (х -f- = -]— т/~2iar sin 0/р2р; Cf = — а = 0;
Cf2 = — v* = 0; Cf = [х* — JLi — шД cos 0/р4;
(109)
Cf = т — а* — P = |/2a2 sin 0 cos 0/р2р; Cf = р* — р = 2ia cos 0/р2;
= Iі — У + Y* = ~ Л/2р2р; Cf = а —' р* = — (p*ctg0—
— ia sin 0)/(р*)2 >/Г2;
Cf = X* = 0; Cf = р - а* = + (р Ctg 0 +
+ ш sin 0)/р2 JZr2.
С помощью уравнения (92) линеаризованные уравнения (108) можно переписать в виде
[Ailh9 Iу] + [1\ A}k\k) = СІМ* Г + CtlVn9 (110)
ГДЄ Cm — возмущения фоновых значений Cm. Расписывая уравнение (HO), получаем
AikCkJr + AiCiX + (IiA1m) Г - (VA1m) Г = CtktAknГ + сЦ\т. (111) Вследствие линейной независимости вектора 1 имеем
IiAln - IlAtu = AikCik - AikCik + CikiAkm 4- cU. (112)
172
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Уравнение (112) по многим причинам является основным уравнением теории: оно дает основную систему неоднородных уравнений для элементов матрицы А и, кроме того, неоднородные члены прямо связаны с возмущениями спиновых коэффициентов.
Двадцать четыре уравнения (112) могут быть сгруппированы в три системы по восемь уравнений каждая.
Из уравнений (109) следует, что
# = -(т* + я)а); 4Я = + (И*-Ц)(П;
= - (т + с'3 = + (р* -
с? + с? = +(т-л*)(1); с« + с« = _( р+
Cj1 + с? = + (т* - Cf + Cf = + G* +
С помощью уравнений (105) можно выписать систему из восьми уравнений, в которых неоднородные члены, следующие из членов C1J1 в уравнении (112), выражаются через элементы матрицы А. Следовательно, уравнения (112) дают систему восьми однородных уравнений для элементов матрицы А. Эту систему назовем системой I.
Далее,
= к; cf = — a; cf = — v*; cf = X*;
Ї ' ч ' 1 * ' /11Л\
41-х*; =-о*; cj2 = -v; cf = %. 1}
Ho уже есть явные решения (уравнения (25)—(28)) для спиновых коэффициентов х, аД и V через функции Тьюкольского (оставим в стороне неизвестную еще относительную нормировку функций R+2 и R-ї)- Следовательно, уравнение (112) дает еще одну систему восьми уравнений для элементов матрицы А, в которой неоднородные члены можно считать известными. Будем называть ее системой II.
Две системы уравнений — система I и система II — содержат вместе 16 уравнений для 16 функций, необходимых для определения матрицы А. Однако мы увидим ниже, что этих уравнений недостаточно для определения матрицы А: их нужно дополнить линеаризованными тождествами Риччи.
И снова из соотношений (109) следует, что
с*1 — cl2 = 2 (а* — Р)(11 — (т я*)(1),
cIl ~ С21 = 2 (а + Р*)(1) — (т* + л)п\
с\х — cl1 — 2 (е — 8*)П) — (р — р*)(1\
с? - Cf = 2(7 - 7*)и) - (ц - ^*)(1), <f = (Y + T*)(1). с? = ( а-р*)(1),
Cf = (є + є*)(1), с\3 = ф- а*)(1).
(115)
84. Линеаризация коммутационных соотношений
173
С учетом этого мы можем выписать еще одну систему из восьми уравнений (систему III), в которой неоднородные члены прямо связаны с возмущениями оставшихся спиновых коэффициентов а, (3, у и в. Следовательно, если матрица А уже определена, эта система уравнений будет служить для завершения решения.
Выпишем теперь все три системы уравнений в явном виде. Следует, однако, отметить, что приведение уравнений к виду, который дается ниже, отнюдь не простая задача.
СИСТЕМА I
3>tFl + Fl = - irT sin 0 + (2ia cos 0/р2) J (21, 3),
2>tF\ + ?>0Ft = + irT sin 0 - (2ia cos 0/р2) H (21,4),
SiF\ - S\F\ = iAT cos 0 - (2iar sin 0/p2) G (43, I),
STlFl - S\F\ = iAT cos 0 + (2iar sin 0/p2) F (43, 2),
+ (1//2) Sf0U - P2^0F31 + P2^0tF' =
= Tia (F14 + F2) cos 0 (31, I) + (32, 2),
+ (1//2) s0u - p 2<z>0f\ + p2i^ =
= - 2ia (F13 + F23) cos0 (41, I) + (42, 2),
- (1//2) AtD0V + P2SlFl + P2ZlFl =
= + 2iar (Fl - F42) sin 0 (31, 3) + (41, 4),
+ (1//2) A®tV + P2^iFl + P2StFl =
= + 2iar (F41 - Fi) sin 0 (32,3) + (42,4), (116)
где
T = (/2/p4)a(U — V), U = A\+ A22, V = Al+Al (117) СИСТЕМА II
(1//2) p2StFl - iZ5_,p4F32 - 2iap2F\cosQ = 1I2Apx (31, 2), (1//2) p2f^ - ^-Ip4F2 + 2iap2Fl cos 0 = V2ApV (41, 2), (1//2) Stip4Fl - V2P2A^0P2F43 + /2jarP2F2 sin 0 =
=-V2A (pfa (31,4),
(1//2) S^iP4Fl - V2P2A^oP2Fs - /2/arp2F2 sin0 =
= - V2A (p*)V (41,3),
(1//2) p2StF2i + ^iip4F? - 2 Zap2F2cos0 = - (2p4p/A) v* (32, I),
(1//2) P2S0F2I + ^lip4Fl + 2Zap2Flcos 0 = - (2p4p7A) v (42, I),
174
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
(HY 2) Stl94Fl + (р2/2) A2>oV^4 - /2iarpF\ sin 0 =
= P2(P)2^* (32,4),
(1 /у 2) SE-XV4Fl + 'Up2A^Xp2F43 + Y Karp2F] sin 0 =
== p2 (p*)2X (42,3). (118)
СИСТЕМА III
2 (a + p’)(1) = (1/p* /2) S0 (Al - Al) - (1/p) <Z>0 (p2Fi) -
