Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
= (і//2р2) [(р)2 (р2Х* - Aa 12) + (р*)2 (р2Х + До*/2)]. (137)
Исключая из уравнений (134) и (135) величину (Fl + F2—U), а из (136) и (137) величину [p2(F4 4 Fi3) + V], находим (после некоторых преобразований с помощью уравнений (131) и (132))
AWP Л n« J+H д А1'2 д , J-H
дг P ді/2 50 Q дг ^ ді/2
= (1/2р2) [(Д/2) (р*х* j- рх) — (2р4/Д) (p*v 4- pv*)] —
- Ж {"W" [1/г Л ^*Н* “ ~ (2Р4/А) ’ (138)
-Jr P4F-G) + iAJL-±--Jr P2(FfC) =
= - (I //2р2) [(P)2 (р2Х* 4- Да/2) + (Р*)2 (P2X 4- Да*/2)] +
4" Д -Jr [(P)2 (р2Х* - Ao/2) 4 (Р*)'2 (P^ + Да*/2)]}. (139)
Уравнения (138) и (139) можно преобразовать к более удобному виду, воспользовавшись уравнениями (131) и (132). Перепишем с этой целью левую часть уравнения (138) в виде
A1/24r-Qp2(-f+ #)/Д1/2 -
дг
- Д>/2^_р2(у _ Я)/Д'/2 + A^HQMjrPHJ - Я)/Д‘/2 =
= д./2^_ Д-./2 [Qp2 (У 4 H)-JL P2 (J - H) + (QJQ) P2 (J - H)]
(140)
178
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
и рассмотрим выражение в квадратных скобках в правой части. Можно с помощью уравнения (132) сделать следующие преобразования:
Р2 (-iL + ctg е) (/ - я) - р2 -L- (j - я) +
+ 2а2 (У - Я) sin 0 cos 0 + (Q,e/Q) р2 (J-H)- 2iar (F + G) sin 0 = = (1/Q) (Q.e + Q ctg 0) p2 (J-H) + 2а2 (/ - Я) sin 0 cos 0 -
— 2iar(F + G) sin 0 =
= (2ao cos 0/Q) p2 (/—Я) -f-2a2 (J—Я) sin 0 cos 0—2iar (F+G) sin 0 = = (2а/Q) (p2cr + Q a sin 0) (/ — Я) cos 0 — 2('ar (F + G) sin 0 =
= (2a/Q) [/((J — H) cos 0 — irQ (F + G) sin 0 ]. (141)
Полагая теперь
1F = K (J - Я) cos 0 - irQ (F + G) sin 0, (142)
находим, что уравнение (138) может быть приведено к виду
--а-? — -Ir = (QM IV2 А (р*и* + рх) - (2р4/А) (p*v + pv*)] -
/2p2Q)[V2 А(р*х* - рх) - (2р4/A)(p*v - pv*)]}. (143)
Действуя аналогичным образом, находим, что уравнение (139) может быть приведено к виду
-T-jW=- ттрт №)2 (р2к* + Аа/2) + ф*)2 (р2% + Ао*/2)] +
+ IK-Hr {—-— [(р)* (Р2Х* _ Aa12) + (р*)2 (P2X - Аст*/2)]|. (144)
Заменяя дифференциальные операторы в правой части уравнений (143) и (144) операторами SB и SD, определенными в гл. 8 (§ 68), получаем следующую пару уравнений:
- 2а A''2-?;- (V/A'/2) = - V2Q2 {9Є% (V2 Лх*/р - 2p2p2v/A)/Q -
— S0 (V2 Лх/Р* — 2p2pv*/A)/Q), (145)
2ад?/50 = (iK2//2) {®\ [V2 А (ар/р* + ар7р)]//( -
-Д>о [(P)8A-*+ (P*)Wb (146)
Очевидно, что уравнения (145) и (146) требуют выполнения условия интегрируемости: действие операторов
_JL и д 1/2 —^------!— (147)
дв дг ді/2
87. Решение условия интегрируемости
179
на правые части, соответственно уравнений (145) и (І46) должно приводить к одинаковым выражениям. Это условие является одним из важнейших соотношений в теории: как будет показано ниже в § 87, оно определяет относительную нормировку функций R+2 и R-2 и аргумент постоянной Старобинского W.
87. Решение условия интегрируемости
Заметим прежде всего, что в правой части уравнения (145) появляются как спиновый коэффициент х, так и спиновый коэффициент V. Ho как следует из решений (25) и (28) для этих спиновых коэффициентов, коэффициент к выражается через функции R+2 и S+2, тогда как v — через функции R-2 и S-2, а мы неоднократно подчеркивали, что относительная нормировка функций /?+2 и R-2 (при нормировке угловых функций S+2 и S-2 на единицу) пока еще неизвестна. Как следствие выражение в правой части уравнения (145) не полностью определено. То же самое можно сказать и о правой части уравнения (146).
Обсуждение тождеств Тьюкольского — Старобинского, проведенное в § 81, показало, что задача определения относительной нормировки функций R+г и R-2 тесно связана с проблемой раздельного определения действительной и мнимой частей ІІОСТОЯННОЙ Старобинского W = W1 -J- iW2. Действительно, если бы мы нормировали функции A2R +2 (= P+г) и R-2 (= Р-2) в соответствии с уравнениями (41) и (42), то нам оставалось бы определить лишь численный коэффициент в решении ДЛЯ ?4 (или Y0). Ho при этом еще не будет решена проблема раздельного определения W1 и Wi.
Существо поднимаемой здесь проблемы станет яснее, если вспомнить этапы исследования уравнений Максвелла, проведенного в гл. 8 (§§ 70 и 71). Там было найдено, что при выборе функций А/?+1 и R-ь согласно уравнениям (33) и (34) гл. 8, требуется учесть дополнительный множитель 1/2 в решении ДЛЯ (CM. уравнение (70) гл. 8) и этот множитель определялся одновременно с доказательством действительности соответствующей постоянной Старобинского.
Вернемся теперь к условию интегрируемости. Мы Вскоре увидим, что если в качестве базисных решений для радиальных функций выбрать Р+2 И P-2, то решения для вейлевских Скаляров Y0 и Y4 будут иметь вид
A2Y0 = P+2S+2, Y4 = [1/4 (р*)4] P-2S-2, (148)
т. е. появляется множитель 1/4 вместо 1/2 в случае спина 1. Удобно предположить справедливость решений (148) с самого начала, хотя это и не является строго необходимым: можно включить дополнительный множитель, скажем q, в выражение для Y4 (тогда последующий анализ покажет, что q = 1). Опуская множитель q, мы ничего существенного не теряем: восстановление этого множи-
