Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем продолжать далее, уточним, какие задачи нам еще нужно решить.
Мы видели, что уравнения системы I позволяют выразить функции B1, B2, C1, C2, F — Gh J + H через функции F + G, J — H1 U и V.
Из уравнений системы II, помимо определения относительной нормировки радиальных функций R+2 и R_2 и действительной и мнимой частей постоянной Старобинского получается решение с разделяющимися переменными для функции W
цг = ? (Jr — Н) cos 0 — irQ (F + G) sin 0 (203)
и четыре уравнения (134), (136), (187) и (189), позволяющие выразить комбинации (^2± Ff) и р2 (Fl ± ^з) через другие функции, которые мы перечислили ранее.
190
Глава Р. Гравитационные возмущения черной дыры
Уравнения системы III служат только для определения возмущений спиновых коэффициентов а, |3, у и г, если известно полностью решение для матрицы А. Кроме того, мы покажем, что функции UwV остаются неопределенными до самого конца, так что можно использовать две из оставшихся четырех степеней калибровочной свободы и положить их равными нулю.
Таким образом, для завершения нашей программы осталось определить функции F -f G и J — Н.
Поскольку 16 тождеств Бианки и 24 коммутационных соотношения уже были использованы, мы должны в силу необходимости вернуться к тождествам Риччи. Изучение этих тождеств, перечисленных в гл. 1 (уравнения (310)), дает возможность предположить, что нам следует обратить внимание на уравнения (310а), (ЗЮо), (ЗЮж) и (31Op) из гл 1. Линеаризация этих четырех уравнений дает
Dp(1) + 2p<D/p* — D<*> (р*)-1 -j- (е + e*)^1 Vp* =
= 8*х — к (За -f |3* — я) — х*т,
Дц<‘> +(2ц. + V +7*) ^(1) + Д(1,И- + (У + V*)(I) =
= 6v — V (т — 3(3 — a*) + v*ft,
(204)
8*я(1) + (2я + а — P*) + б* + (а — |3*)(1> я =
= DX + Х/р* —'<7*ц., 8г(1) — (2т +р — а*) т(1) + 8(1)т + (а* — |3)(1) ' =
= Дсг + сг[л — Х*/р* — а (Зу —у*).
Подставляя в вышеприведенные уравнения решения для и а, X и v (уравнения (152)), решения для рП), t<’>, и я(1> (уравнения (105)) и решения для а<!>, р<!), v(1) и є<1) (уравнения (119) из системы III), находим после громоздких преобразований
~iKF\ + (А/2) SDJU + (I / V 2) (іia sin 0) 2>_,р2F +
+ V 2 (a2 sin 0 cos 0) F - V 2 (iar sin 0) (F\ - F42) =
= — (Д/2 (/ 2) [(р*)2 S11Xlip*)2 “г га sin 0х*/р], (205)
IKF21 + (А/2) SblU -(1/(/2") (ia sin 0) ^Up2G -
— V 2 (a2 sin 0 cos 0) G — V 2 (iar sin 0) (F\ — F4) =
= 1/2 ?%- [Jr + V-], (206)
(iaQ sin 0) F3 + (msin 0/2р2) SqV + (і/|/ 2) [S-\J — {2ia sin 0/p)/] +
+ (/ 2 a2 (sin 0 cos 0/p2) (F13 + Fl) = (p*/p) [2>0 (pX) + Aa*/2p2],
(207)
91. Решение уравнений (209) и (210)
191
(toQsin0)F|-(tosin0/2p2) Z%V - (і/|/ 2)[#І,Я —(2*азіп0/р)Я] +
+ I 2 (a2 sin 0 cos 0/p2) (Fj + Fl) = —
Др*
~w
t PO
(p*)2
(208)
Вычитая уравнение (206) из (205) и складывая уравнения (207) и (208), получаем следующую пару уравнений:
iK (Fl+ F21-U)- |/2 (a sin 0 cos 0) (F + G) +
+ 1/2 (iar sin 0) (J-H)-(1/(/2) (to sin 0) (0_ip 2F + S>Up 2G) =
= ()/2 p4p*/A) [(l/p2p) Z\ (p2v) + ia sin 0v*./(p*)2] +
+ (A/2 I/ 2) [(p*)2 ZlKKp*)2 + ia sin 0x*/p], (209)
(iaQ sin 0/p2) [p2 (F? + F3) + V) + V 2 (a2 sin 0 cos 0/p2) (F + G) +
+ (1/(/2) [Z-iJ -Z3LxH- (2to sin 0/p) (/ - Я)] =
= (p*/p) [^o (p*X) + (A/2p2) a*] - [4^ 0
t_pa_ I (p*)2
(210)
Аналогично, складывая уравнения (205) и (206) и вычитая уравнение (208) из (207), имеем дополнительную пару уравнений
—iK (Fl - F?) + (А/2) (2>0 + 2>t)U + (l//2) tosin 0 (0_,p2F -
— 3$-хр2G) + /2 (a2 sin 0 cos 0) (F — G) — /2 (tor sin 0) B2 =
2^2
(р*)2
(р*)2
+
+ /2Г ' <Ff(p>v).
Д L P2P (Р*)2
— (toQ sin 0) (F4 — F3) + (to sin 0/2р2) (Z0 + Zo) V +
+ у 2 (a2 sin 0 cos 0/р2) Ci + (і/j/ 2 ) [2_tJ + ZliH
(211)
— (2ia sin 0/p) J — (2/a sin 0/p) H] = -t- iZ)0 (р*Я) +
a*] +
+
Др*
~W
,t pa
(p*)2
2p2
?- *-’]• (212)
91. Решение уравнений (209) и (210)
Покажем теперь, что, исключая функции (F12+ F2-U) и [р2 (Fl + F43) + V] из уравнений (209) и (210) (с помощью уравнений (134) и (136), можно получить удивительно простую систему уравнений (242)—(245) для функций К (J — H) cos 0 (= Z1) и —irQ (F + G) sin 0 (= Z2).
192
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Рассмотрим сначала мнимые части уравнений (209) и (210). Имеем
(ia sin 9) { А'/2 -If (p2-^f) - Ir (F + G) + (ia cos 0) (J - H)]
= [х, V] - [X, V]*,
где
[х, V] =
H) — (ia sin 0) [г (F
G) (- (ш cos 0) (У — Н)\ =
- [Я, а] - [Я, а]*,
P4P
2А
WiZMpV)-
P2P
+
+ V8Afp2^I а] = WT [^0 ^ +~W°
2/2
1 2 KrP
Др*
2р
<+_?0_ 1 (Р*)2
/а sin 0
+ 4-х
(213)
(214)
(215)
(216)
Мы видим, что в уравнениях (213) и (214) появляется комбинация [г (F + G) га (^ — Н) cos Заменим ее комбинацией функций F G и ? в уравнении (213) и комбинацией функций J — H и 1F в уравнении (214), используя для этого одно из следующих двух соотношений:
Г (F + G) + (ia cos 0) (J-H) = (га/К) P2 (F + G) + шВД =
= — (ta/Q sin 0) р2 (J — Я) cos 0 -Jr iW/Q sin 0. (217)
