Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Объединяя уравнение (77) с «присоединенным» к нему уравнением, получаем следующую пару уравнений:
Pi ^ 4^cIQ- — — (а2 Ч- 2рх ctg 0) (S+2 -)- S_2) —
— («і + PiQ г D) (S+г — S.t),
Pi d(S+tjr— = - К + P1Q - D) (5+2 + 5.2) - (79)
— («2 + Ctg 0) (S+2 — S_2).
Уравнения (74) и (79) играют существенную роль в последующем развитии теории.
б. «Скобочные» обозначения. Для сокращенной записи громоздких уравнений, которые появляются в развиваемой нами теории, удобно ввести специальные обозначения:
[Pf = Р+2 ± Р.г, [Sf = S+2 ± S_2, (80)
[2)Pf = &ІР+2 ± 2>оР-2, [3>3>Pf = SblStii\Р+2 ± 2>о2>оР-ъ
(81)
[SeSf = S72S+2 ± ^2+5_2; [sssf = SxS2S^2 ±
(82)
Следующие уравнения являются элементарными следствиями ’введенных определений:
4' [Р]* - [ФР]* + (//С/Л) [Pf, (83)
-±Г [SDPf = [ФФР]* + (І/С/А) [0Р]Т, (84)
[Sf = - Q [Sf - 2 [Sli ctg 0, (85)
¦дд- [SSf = [SSSf - Q [SSf - [SSf ctg 0. (86)
166
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
В этих обозначениях уравнение (47) и комплексно-сопряженное к нему принимают вид
Д [?>?>РJi = - 2iK [3>Pf + 2 (г - M) [2)Р]Ь f
_т“ ^ біЧтл" [Z5]+, (87)
а уравнение (64) и присоединенное к нему записываются следующим образом:
[SSSf = 2Q [SSf + 2 [^S]* ctg 0 - К [Sfz - 6ас [Sf cos 0. (88)
Фактически эти уравнения являются уравнениями Тьюкольского для нормированных функций.
82. Возмущения метрики; постановка задачи
При исследовании возмущений пространства-времени основной интерес представляют изменения, вызванные возмущениями метрических коэффициентов. В формализме Ньюмена—Пенроуза эти изменения прямо связаны с изменениями изотропных векторов базиса. Обозначим эти приращения 1(1), п(1), ш(1) и т(1). Кроме того, важны также изменения спиновых коэффициентов и вейлевских скаляров. Таким образом, мы должны рассмотреть величины, перечисленные в начале настоящей главы (величины (2)). Ho прежде чем сформулировать точно, чего же мы хотим, перечислим, что мы уже знаем и что остается еще неизвестным.
В § 79 были получены точные решения для величин, перечисленных в списке (I). В частности, в калибровке, в которой
W1 = Ws = 0, (89)
решения для спиновых коэффициентов х, а, 7 и V даются формулами (25)—(28). Решения для вейлевских скаляров W0 и Wa (которые не зависят вообще от выбора калибровки) записаны через функции ТЬЮКОЛЬСКОГО R± 2 И S ±2'
= Д+25+2, = tf-2S-2/(p*)4. (90)
Напомним, что если угловые функции S+2 и S_2 нормированы на единицу, а радиальные функции A2R+2 и R_2 выбраны равными функциям Р+2 и (см. уравнения (41) и (42)), то неизвестным остается коэффициент пропорциональности либо для скаляра W0, либо для скаляра Wa. Можно напомнить, что в аналогичной ситуации при решении уравнений Максвелла в гл. 8 (§71) подобная неопределенность допускала простое разрешение, поскольку уравнения для максвелловских скаляров ф0 и </>2 в отличие от уравнений (7)—(12) не были полностью расцеплены. Наконец, помимо относительной нормировки решений для ?0 и Wa неизвестным остается еще аргумент постоянной Старобинского.
82. Возмущения метрики; постановка задачи
167
а. Матричное представление возмущений базисных векторов. Удобно ввести специальный индекс для нумерации базисных векторов (1, п, т, т). Полагая
I1 = I, I2 = n, I3 = т, I4 = т, (91)
мы можем записать возмущение lt(1) базисного вектора I1 в виде линейной комбинации невозмущенных базисных векторов I1:
Iі (,) = A11I1. (92)
Тогда возмущения базисных векторов полностью описываются матрицей А.
Поскольку векторы I1 и I2 действительны, а векторы I3 и I4 комплексны, то матричные элементы A j, At, A2 и А\ действительны, а остальные матричные элементы комплексны; кроме того, матричные элементы, которые отличаются перестановкой индексов 3 и 4, являются комплексно-сопряженными. Вследствие этого определение матрицы А требует 16 действительных функций.
В последующем анализе окажется удобным использовать вместо недиагональных элементов А{ (і Ф /) следующие величины, пропорциональные этим матричным элементам:
^2 = (А/2р2) A12] F\ = (2р2/Д) А\\
F3 = (l/p*) '» Fil = (1/р) Au
Рз = (л/2р2р) Лз; Fi = (1/р) л|;
Fl = (Л/2р2р*) Al; F\ = (Д/2р2р) Al; (93)
F14 = (Д/2р2р*) Al’, Fl = (1/р*) Au F34 = (l/pj Al; Ft = (Hp)2Al
Мы увидим также, что важную роль играют следующие комбинации:
F = Fl+ Fl; B1 = (F3l^Fl)+ (F4i+ Ft);
G = F23 + Fi; B2 = (F31+ Fl)-(Ft+ F42);
H = F3i- Fh C1 = (Fl + Ft) - (Fl + F42); (94)
J = Ft- F42', C2 = (F\ - Fl) - (Fl - Fl);
и = A\+ At; V = A33+ Al
Оказывается,
F12, Fu U, V, F, G, B1 действительны,
B2, C1, C2 чисто мнимые,
Fl и Fl F4 и F3i (i = I, 2), Ft и F34, (95)
HwJ комплексно-сопряженные.
168
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
б. Возмущения метрических коэффициентов. Как мы уже утверждали, центральной задачей в теории возмущений геометрии пространства-времени является определение нормальных мод возмущений метрических коэффициентов. Эти метрические возмущения связаны с возмущениями изотропных базисных векторов соотношениями (ср. с уравнениями (246) гл. 1)
