Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
(175) и (180)).
(2)
(1)
154
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
не является следствием алгебраического характера простран-ства-времени.)
Задача состоит в том, чтобы определить два набора величин
(1) и (2). Мы увидим, что эта задача естественным образом делится на две части: определение величин из первого набора и определение величин из второго набора. Первой части посвящены § 79—81, а второй части — § 82—95. При этом теория первой и второй задач составляет единое целое.
79. Редукция и расцепление уравнений для вейлевских скаляров W09 Ylf W3 и Y4
Как уже упоминалось в гл. 4 (п. 29, а)у среди уравнений Ньюмена—Пенроуза имеется система из шести уравнений, линейных и однородных относительно величин xF0, xF1, xF3, xF4, х, o’, X и v, равных нулю в фоновой геометрии. Это четыре из тождеств Бианки (гл. 1, уравнения (321а), (321 г), (321д) и (321 з)) и два из тождеств Риччи (гл. 1, уравнения (3106) и (ЗЮк)):
(б* _ 4а + я) W0 — (D — 2г — 4р) W1 = Зх?2,
(Д - 4y + її) W0 - (б - 4т - 2(3) W1 = 3(JxF2, (3)
(D — р — р* — Зе -]- є*) G — (б — т + я* — а* — 3(3) к = xF0, (D + & — р) xF4 — (б* + 4я + 2а) W3 - -SkW2i (б + 4(3 - т) Wa - (Д + 2V + 4^i) xF3 - -SvxF2, (4)
(Д + ^ +Ili* jT Sy — 7*) X — (б* -j- За +6* + я — т*) v —
=
Мы рассматривали эти уравнения в гл. 4 (§ 29) при исследовании возмущений шварцшильдовой черной дыры.
Уравнения (3) и (4) уже линеаризованы, поскольку величины xF0, xF1, х и о в уравнениях (3) и величины xF4, xF3, Xhvb уравнениях (4) уже появляются величинами первого порядка малости, поэтому можно заменить все другие величины (включая операторы производных по направлениям) их невозмущенными значениями. Эти уравнения обладают еще одним важным свойством: они представляют собой полностью расцепленные две системы из трех уравнений относительно величин xF0, xF1, к и а, с одной стороны, и величин xF4, xF3, X и v, с другой стороны. Отсюда следует, что решения для каждого из двух наборов величин являются независимыми.
Будем предполагать, как и ранее, что возмущения имеют следующую зависимость от / и ф:
ехр {iat + ітф|, (5)
где а — постоянная (в большинстве случаев действительная и положительная), а т — целое число (положительное, отрица-
79. Редукция и расцепление уравнений
155
тельное или нуль). Действие базисных векторов I, n, m и m (гл. 6, уравнения (170)—(173)), рассматриваемых как касательные векторы, на функции с вышеуказанной зависимостью от t и ф описывается дифференциальными операторами, определенными в § 68 гл. 8. В частности, мы будем опускать множитель (5) во всех величинах, описывающих возмущения, так что соответствующие символы будут описывать амплитуды.
Как мы уже убедились, различные спиновые коэффициенты (исключая к, а, X и v), а также вейлевский скаляр Y2 в уравнениях (3) и (4) можно заменить значениями (175) и (180) из гл. 6, а дифференциальные операторы — выражениями (2)—(5) из гл. 8. Результирующие уравнения принимают простой и симметричный вид, если записать их через новые функции
Фо = 1IfO, O1=Y1P*/^
k = х/}/-2 (р*)2, s = ср/(р*)2, (6)
O4 = 1Mp*)4, ф3 = Ъ (р*)3//2;
I = Кр*/2, п = VpiIjZr 2.
После некоторых преобразований уравнения (3) и (4) принимают следующий вид:
(S2 — Sia sin 0/р*) Ф0 — (S)ss + З/p*) CP1 = —6Mk, (7)
А (SE)% — З./р*) Ф0 -|- (St1 + 3ia sin 0/р*) Фх = -|- 6/Ws, (8)
(S)0 + З/p*) s - (Stl + 3ia sin 0/р*) k = рФ0/(р*)2; (9)
(Фй — З/p*) Ф4 — (S_, + Zia sin 0/р*) Ф3 = +mi, (10)
(St - зia sin 0/Р*) ф4 + A (Stft1 + З/p*) Ф3 = -f 6Мп, (11) A (St>tx + З/p*) I + (S+ 3ia sin 0/р*) п = рФ4./(р*)2. (12)
Расцепление уравнений в двух системах (7)-(9) и (10)—(12) можно продолжить аналогично тому, как это было сделано в гл. 8 (уравнения (13)—(16)). Действительно, можно исключить Фі из уравнений (7) и (8), подействовав на уравнение (7) оператором (Stl + 3ia sin 0/р*), а на уравнение (8) — оператором (S)0 + + З/p*), а затем сложив получившиеся уравнения. Правая часть результирующего выражения с точностью до множителя 6М совпадает с левой частью уравнения (9). Получаем окончательно уравнение для Ф0
[(Stі + 3ia sin 0/р*) (S2 — 3ia sin 0/р*) +
+ (S)0 + З/p*) А (Щ — З/p*)] Ф() = 6МрФи/(р*)2. (13)
156
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Подобным же образом из уравнений (10)—(12) получается уравнение для Ф4
\(S _х + 3ia sin 0/р*) (St2 — 3ia sin 0/р*) -j-
+ A (S)I1 + 3/р*) (S)0 - 3/р*)] Ф4 = 6/ИрФ4/(р*)2. (14)
Распишем подробно две группы членов в левой части уравнения (13):
A (S)1 + 3/р*) (&% - 3/р*) =
- АSD1SDX + (6/р*) [— ІК + 0Г - M)] - 6А/(р*)2, (15)
(SEt1 + 3ia sin 0/р*) (S2 — 3ia sin 0/р*) =
= St1S2 + (Ыа sin 0/р*) (Q -j- ctg 0) -f 6а2 sin2 0/(р*)а. (16)
Если подставить эти выражения в уравнение (13) и воспользоваться элементарными тождествами из гл. 8 (уравнение (10)), то получим уравнение
[АSD1SDX + St1S2 — 6иг (г + ia cos 0)] Ф0 = 0. (17)
Аналогично уравнение (14) приводится к виду
[ASDt1Zft0 + S_XS\ + Ыа (г -I- і a cos 0)] Ф4 - 0. (18)
