Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
dv = dt + [(г2 -fa2)/Д] dr, d(p = d(p -f (а/Д) dr. (242)
Выбор этой системы координат удобен при исследовании потока излучения, направленного внутрь, а выбор координат, определяе-
76. Дальнейшее разбитие теории
147
мый уравнениями (215) гл. 6, удобен для исследования излучения, направленного наружу. Изотропные векторы ИНИ) и пнового базиса равны
I (HH)
,2
> °> . п(«") = 0, — о., О
(243)
Заметим что этот базис не имеет особенностей на горизонте событий будущего, т. е. для наблюдателей, падающих внутрь.
Элемент трехмерной поверхности горизонта, нормальный к радиальному направлению внутрь, равен
dS/ = і]НИ)2Мг+ sin 0 de ёф du. (244)
Это выражение следует из вида метрики в координатах Керра— Шилда (уравнение (219), гл. 6), а также из уравнения (272) гл. 6. Поскольку якобиан преобразования равен единице, т. е. д (ф, v)/d (ф, /) = 1, можно также написать-
d2/ = lfH)2Mr+ sin 0 d0 d<p dt. (245)
Вследствии стационарности и аксиальной симметрии пространство-время Керра имеет времениподобный вектор Киллинга I (t) (= d/dt = d/dv) и аксиальный вектор Киллинга I (ф) (= д/дц = = д/дф). Поэтому для любого поля, тензор энергии-импульса которого хорошо определен, мы можем определить векторы потока
Tllt (t), Tllt (ф), - (246)
связанные с законами сохранения энергии и момента количества движения. При этом потоки энергии и момента количества движения через элемент двумерной поверхности, образованный пересечением горизонта и двух поверхностей постоянного значения координаты V, разделенных расстоянием du, соответственно равны
dE = Tllt (t) dS/f (ILz = Tllt (Ф) dSy, (247)
Подставляя для dS/ выражение из уравнения (245), получаем для потока энергии и момента количества движения в черную дыру через горизонт событий выражения
(wirX,=2Mr^‘«lIam- <ш>
(-Sntlt /)"">. (249)
Из уравнения (243) теперь следует, что на горизонте (где A = O) 1 (ню = I(I)^r (a/2Mr+) I (ф). (250)
148
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
Из уравнений (248) и (249) получаем
(та-),, + -Ш77 (та),, “ 2Mr,7„e««>V»»’/. (251)
С другой стороны, для выбранных нами зависимостей возмущений от t и ф имеем
ж =ia> w = im' (252)
и из сравнения выражений для dE и dLz в уравнении (247) следует, что
dLz = (т!о) dЕ. (253)
Вследствие этого из уравнения (251) получаем
О +-mhr) (та),. = (254)
Вспоминая теперь, что Os = —ат/2Мг+, находим,
(-^-) = -2-г±Н- ТиІ{НН)іІ(НН)і. (255)
\ d/ dQ /г+ о -Os 11 4 7
Из уравнения (235) для Tij имеем
= (1/2п) (256)
Максвелловский скаляр </>0 в базисе, в котором были получены уравнения (237), связан со скаляром ф[ИИ\ вычисленным в базисе, заданном уравнением (243), соотношением
ф(нн) = дф012 (Г2 +а2у (257)
Поэтому из уравнения (255) получаем
( At dQ ) r+ 8Mr+ (а — a,) ~2п ' ^258)
Подставляя решение для </>0, находим
(та),, = # SMrt (о — q.) MWW],,. (259)
Из асимптотического вида #+1 на горизонте (формула (209)) следует, что
d2?(trans) \ ^2
----- --- = —tl--------1------- TDdrans, +a)D(trans, -о)і (260)
dtdQ )г+ 2л 8Mr+ (о — os) J* >
Теперь ясно, что уравнение (260) вместе с выражением (239) для (d?(inc)/dt dQ)oo дает то же значение для коэффициента прохождения Т, что было получено выше (см. соотношения (217) и (219)).
Мы убедились теперь в том, что коэффициенты отражения и прохождения, определенные в § 75, имеют именно тот физический смысл, который мы им приписывали.
76. Дальнейшее развитие теории
149
в. Дальнейшее развитие теории. Для полноты картины нужно выяснить несколько вопросов, касающихся правильных граничных условий на горизонте для максвелловского скаляра </>0.
Решение для R+i в уравнении (209), подходящее для описания входящих волн на горизонте, имеет следующую асимптотику:
R+i -> А"1 ехр [ -f-ior* ] при г -> г + -f 0. (261)
Это решение сингулярнэ, и поэтому возникает вопрос, почему оно допустимо. Это решение действительно допустимо, потому что сингулярность появляется только вследствие неудачного выбора базиса (векторы которого не определены на горизонте), в котором был вычислен максвелловский скаляр </>0. Именно по этой причине нам пришлось перейти к несингулярному базису Хартля—Хокинга в предыдущем разделе (уравнение (245)). Как следует из уравнения (257), в базисе Хартля—Хокинга максвелловский скаляр фо умножается на А/2 (г2 + а2) ( = А/4Мг+ на горизонте) и этот множитель устраняет сингулярность из выражения (261).
Другой вопрос связан с представлением входящих волн на горизонте функцией ехр (ior*). Следует иметь в виду, что переменная г* неявно содержит зависимость от частоты о. Для нахождения явной зависимости от о удобно перейти к переменной rff), определяемой уравнением (ср. с уравнением (100))
Т&-- -Лжт- W
После интегрирования этого выражения получаем
Лс) =^ + I2Mr+/(r+ — г_)] [In (r/r+ — 1) — In (г/г_ — 1)] при г > г+.
(263)
Зависимость г[с) от г в отличие от зависимости г* от г всегда однозначна (именно поэтому обычно ее и предпочитают использовать):
