Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
находим, что в окрестности г = | а| функции V± имеют следующее поведение:
V± = ± (- 4 ± I) Afa|/161 a I2 (г - I а \)\ (193)
Отложим на время решение вопроса о том, каким образом сингулярность в потенциале при г = | а| следует учитывать при нахождении решения волнового уравнения, здесь же отметим, что граничные условия, которые должны быть наложены на решения волнового уравнения, остаются прежними, именно:
exp [+ tcrr*] + А± exp [— iarJ при г*-> оо, г-> с»,
B±exp[+farJ при г*-+ оо, г->-г+ + О,
где индексы «±» введены для различения решений, соответствующих потенциалам"*!/+ или V_. Может возникнуть вопрос, почему волна, приближающаяся к горизонту вдоль ветви г* -> +оо и ґ —> г+ + 0, должна иметь зависимость exp [+far*], так же как и волна, приближающаяся к горизонту вдоль ветви г* -> —оо и г -> r+ +Ob случае а > Gs. Мы рассмотрим этот вопрос в § 76, а сейчас продолжим исследование, приняв граничные условия (194).
Даже с этими граничными условиями мы должны принять во внимание следующее важное обстоятельство: в соответствии с уравнением (146) при пересечении сингулярности при г = I a I знак вронскиана [Z, Z* ]Гж должен измениться. Поэтому, вводя обычные определения
R = \А±\2, J = \B±\\ (195)
получим теперь следующий закон сохранения:
R-T=I.
(196)
75. Задача об отражении и прохождении волн
139
Следовательно, в интервале частот 0 < а < Gs величина коэффициента отражения больше единицы, т. е. R >1. Это явление называется суперрадиацией.
Остается выяснить, как можно получить решение волнового уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (194), надлежащим образом учитывающее сингулярность (193) в потенциалах при г = I а |. Для этого нужно исследовать поведение Z вблизи сингулярности. Непосредственные вычисления показывают, что в окрестности точки г = I а | существуют два независимых решения для Z, имеющих следующее поведение:
Z+~|(r-IaIF2 и Kr — I al)l1/2 для v+,
Z_~\{r-\a Dl5/2 и |(r - I a Dl"1/2 для V_,
а общее решение для Z вблизи | а | является линейной комбинацией указанных решений.
Метод решения волнового уравнения с граничными условиями (194) следующий. Начнем с решения для Z+ (соответствующего потенциалу Vr4.), имеющего асимптотику
Z+-> ехр [+/(Tr*] (г*-> +оо вдоль ветви г -* г+ +0), (198)
и продолжим интегрирование от горизонта в направлении возрастания г (но при этом в направлении убывания г*). В случае приближения к сингулярности при г = I a I слева (по г) решение будет стремиться к определенной линейной комбинации рассмотренных выше фундаментальных решений вблизи сингулярности. Пусть эта линейная комбинация имеет вид (ср. с уравнением (197)) при г -> I a I — О
Z+-Ca(|a|-r)»/* + C8(|a|-r)V*, (199)
где C1 и C2 — постоянные, которые будут найдены в процессе интегрирования. Требование изменения знака вронскиана [Z+, Z+Ir* в точке г — I a I приводит к тому, что при г -> | а | +0 подходящая линейная комбинация имеет вид
Z+ IC1 (г - I a I)3/2 - iC2 (г- I a I)1/2 (г 1 а | + 0). (200)
С помощью выражения для Z+ можно теперь продолжить интегрирование в направлении возрастания как г, так и г* вдоль ветви г +оо. Таким путем найдем в конце концов, что при г -> оо решение имеет асимптотику
Z+^Cfnoexp[+ tor*] + Cref ехр [— ior J (г* оо, г оо)( (201)
где Cinc И Cref — постоянные, которые определятся в процессе интегрирования. Поскольку решение, с которого мы начинали интегрирование, соответствует прошедшей волне единичной амплитуды при приближении к горизонту, ясно, что искомые коэф-
140
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
фициенты отражения и прохождения равны
R = I Cref |2/| Cinc I2, T = |С1пс I"2. (202)
Определенные таким образом коэффициенты RhT будут удовлетворять закону сохранения (196).
На рис. 42 изображено решение для Z (в данном примере это стоячая волна), полученное непосредственным интегрированием уравнения для Z+, соответствующего значению частоты а =
- ав/2.
цифрой 1, представляет действительную амплитуду волны в интервале оо > > г > I а |, а часть кривой, помеченная цифрой 2, представляет мнимую амплитуду волны — мнимую в силу уравнения (200) — в интервале | а | > г > г+. Точка поворота лежит при г* = 8,707.
В табл. 9 приведены коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитных волн различной частоты, падающих на керровскую черную дыру са = 0,95.
Таблица 9
Коэффициенты отражения электромагнитных волн, падающих на керровскую
черную дыру с а = 0,95 (1 = 1, т — -о
о 0I0S R a OjOs R
0,325000 0,8979 1,02428 0,405593 1,1205 0,70998
0,345000 0,9531 1,01919 0,415593 1,1481 0,56810
0,350000 0,9669 1,01565 0,425593 1,1758 0,41943
0,365593 1,0100 0,99241 0,435593 1,2034 0,28686
0,375593 1,0376 0,96100 0,445593 1,2310 0,18435
0,385593 1,0653 0,90807 0,455593 1,2586 0,11332
0,395593 1,0929 0,82563
76. Дальнейшее развитие теории
14І
76. Дальнейшее развитие теории и физическая интерпретация
Как говорилось в начале § 75, нам нужно установить, являются ли коэффициенты отражения и прохождения, полученные из одномерных волновых уравнений для функций Z(±or), теми физическими величинами, которые описывают взаимодействие черной дыры Керра с падающими электромагнитными волнами. Ho прежде чем начать обсуждение этих вопросов физической интерпретации, необходимо показать, как те же самые коэффициенты отражения и прохождения получаются из уравнений Тью-кольского при наложении подходящих граничных условий.
