Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
ношения:
! L — 2 Mux = ТМ1/2 A„/(«Qq:)1/2.
(l + Л2) E — 2aMxus = Au [l T a (Mus)1f2VQ^2-
3 Чандрасекар С, т. 2
66
Глава 7. Геодезические 6 пространстве-времени Керра
радиус которой равен и = иС1 т. е. значения LwE даются формулами (117) и (118), если в них положить и = ис. Значения L, Ey х и т. д., соответствующие данному значению иС9 будем отмечать индексом с. Кубический многочлен в правой части уравнения (104) при и = ис допускает двойной корень, следовательно, это уравнение можно привести к виду
Подставляя Lc и Ec из уравнений (117) и (118), находим
Uo — (L2C — O2E2C + а2)/2Мх2с = ~AuJ2(auJ2 ± М'/2)2. (127)
Уравнение (125) может быть переписано в более простом виде
Ясно, что значение и* определяет обратный радиус орбиты второго рода, связанной с устойчивой круговой орбитой, обратный радиус которой равен ис. Решение уравнения (128) имеет вид
Для получения траектории уравнение (128) нужно объединить с уравнением
Орбиты второго рода, вычисленные с помощью уравнения (130), показаны на рис. 30.
Ясно, что круговая орбита становится неустойчивой при и* = ис. Это условие можно записать, используя уравнение (129), следующим образом:
Расписывая это уравнение и опуская (ставший уже ненужным) индекс с, получаем следующее уравнение:
и~4й2 = 2М (Lc — аЕс)2 (и — ис)2 и + 2ис
(LI — U2E2c + а2)12Мх2с =
[1 + 3a2U2c ± 4а (Мы?)1/3]/2 (auj2 ± M1'2)2 (126)
и, следовательно,
м2 = 2Mx\vf (и — Ucf (и — ut),
(128)
(129)
и, = -Uc + А„с/2 (аи\12 ± М1/2)2.
х=(хе(2Mf12Y1 j и~2(и — ис)~1 (и — Mhs) 1/2du. (130)
ф2 = (U2IAu) (Lc — 2Мхеи).
(131)
В результате получаем
(132)
Ф =
4цс (auj2 ± MxtJ = Auc — а2и2 — 2Muc + (133)
За2и2 + 6Мн ± 8а (Ми3)1'2 — 1=0.
(134)
61. Геодезические в экваториальной плоскости
67
Переписывая его через переменную г, имеем
r2 _ 6Mr =F 8а (Mr)1/2 —
— За2 - 0. (135)
Это биквадратное уравнение для г1/2 можно стандартным способом свести к квадратному уравнению
г — 2qr1'2 — 2М ch tf/ch ЗО =F =F 2aM'l2lq — M = 0, (136)
где
О = V3Srcth (I a I/М),
?2 =4Д4 (ch #/ch ЗО) sh2 О. (137)
Г еодезическая, описывающая движение частицы, энергия и момент количества движения которой соответствуют неустойчивой круговой орбите, может быть получена из уравнений (130) и (132), в которых нужно лросто положить Uc = и,*. Пример такой орбиты показан на рис. 31.
Круговые орбиты, которые формально получаются из уравнений (117) и (118) и радиус которых меньше значения, определяемого уравнением (135), являются времениподобными аналогами (в случае E2 > 1) неустойчивых изотропных геодезических, рассмотренных в п. 61, а. Это следует из рассмотренного выше предельного перехода E2-+ оо.
Помимо предельного случая E2 _> оо} интересно рассмотреть и другой предельный случай орбиты с E2 = 1, которая является переходной между связанными и несвязанными орбитами и соответствует движению лению к черной дыре с
3*
0 I '' і =—Прямое j -
±г І і I Обратное
-ZO ' і г -
-т40 г. I Jl -
-60 I И-< і .
3 5 Г Ю
Рис. 30. Примеры орбит второго рода, связанных с устойчивыми круговыми орбитами радиуса а — 20M и б — 9,5М. Параметры изображенных орбит следующие:
rC E L Орбиты
20 0,9780 4,7222 г Прямая
0,8911 —4,9981 Обратная
9,5 0,9503 3,4153 Прямая
0,9605 —4,1243 Обратная
частицы, падающей по направ-бесконечности из состояния покоя.
68
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Из~ уравнений (108) и (116) получаем следующее уравнение
для радиуса круговой переходной орбиты:
I = X2U2 = (UlQzf) (аиМ2 ± Al 1/2)2, (138)
которое может быть переписано в виде
Q* = 1 — Ши =F 2а (Ma3)1/2 - и Ia2U + M ± 2а {Ми)1/2]. (139)
Рис. 31. Прямые и обратные переходные круговые орбиты в пространстве-времени Керра са = 0,8.
Это последнее уравнение можно упростить
Iau ± 2 (Mw)1Z2F = 1 (140)
и получить следующее решение:
г = 2М±й+2(М2± аМ)1/2. (141)
Круговая орбита с данным значением радиуса является огибающей траекторий частиц, начинающих движение на бесконечности из состояния покоя. Пример переходной траектории показан на рис. 32.
При исследовании изотропных и времени подобных геодезических мы встретились с предельными круговыми орбитами трех типов: неустойчивой фотонной орбитой, последней устойчивой времениподобной орбитой и переходной орбитой, граничной между связанными и несвязанными орбитами. Зависимость радиусов этих орбит от отношения а/М показана на рис. 33. Отметим, что радиусы всех трех типов прямых орбит стремятся к M в пределе а М. Более тщательное исследование поведения радиусов по мере приближения к этому пределу приводит к результатам, представленным в табл, 7,
61. Геодезические в экваториальной плоскости
69
Рис. 32. Примеры критических переходных ограниченных орбит прямых и обратных с E2 = 1, начинающихся из бесконечности из состояния покоя. (На рис. 30—32 в силу условия о знаках аффинный параметр вдоль прямых и обратных орбит изменяется в противоположных направлениях.)
