Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
I + (I — E2)-^2 arcsin [М —(I — E2) г]![М2 —
% —a2 (I — E2) ]1/2|, (100)
согда E2 < 1. (Заметим, что выписанные выражения справедливы !только при а2 < M2.)
62
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Рис. 28. Критические изотропные геодезические (прямые и обратные) в экваториальной плоскости черной дыры Керра с параметром а = 0,8. а — зависимость радиальной координаты г от аффинного параметра г; б и б — зависимости координаты г от угла ф для тех же орбит. Радиусы неустойчивых круговых орбит и прицельные параметры для соответствующих геодезических равны: гс = 1,81 IM и Dc = 3,237M для прямых орбит и гс = 3,819Л1 и Dc = 6,662M для обратных орбит. Единицей длины вдоль осей координат служит М. Штриховыми окружностями показаны два горизонта.
61. Геодезические в экваториальной плоскости
63
Чтобы получить уравнение траектории, нужно объединить уравнения для г и ф, и в результате имеем
da/d(p = ±:(а!Е) (и — и+) (и — и_) [(?2 — I) + 2Mu —
— a2u2]V\ (101)
где и = 1 Ir и и± = 1 /г±. Интегрирование дает следующее ре-
шение:
Ф = [а (и+ - ^)]'3 (In |2E [E1H +2 (М - а2и+) 1+ - а211/2 +
+ 2E2U +2 (М — а2и+)} — In {2E [Е2Ц + 2 (М — а2и_) L —
— а211/2 + 2?2L + 2 (М — а2и_)1)> (102)
где
1± = (и — и±)'\ (103)
Рис. 29. Пример неограниченной времениподобной геодезической с L = аЕ в экваториальной плоскости черной дыры Керра при а = 0,8. На рисунке изображена орбита, для которой E = 1,4. Единицей длины вдоль осей координат служит М; штриховыми окружностями показаны два горизонта.
Пример орбиты, вычисленной на основе уравнения (102), показан на рис. 29.
2. Круговые орбиты. Рассмотрим теперь радиальное уравнение (96) в общем случае. Вводя новую переменную и (= 1 Ir), обратную к радиусу, получаем уравнение
и W = —(<а2и2 — 2Mu +1) +E2 +2M (L — аЕ)2иъ —
— (L2-O2E2) и2. (104)
64
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Как и в случае геометрии Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема, круговые орбиты играют важную роль в классификации орбит. Кроме того, они представляют собой простые примеры, на которых легко увидеть основные особенности поведения геодезических.
Найдем значения LwEy которые соответствуют круговой орбите некоторого заданного радиуса г = Xtu. При этих значениях LwE кубический многочлен в правой части уравнения (104) должен иметь двойной корень. Выпишем условия существования этого двойного корня:
—(а2 и2 — 2Mu + I) + E2 + 2Мх2и3 — (л;2 + 2аЕх) и2 = 0, (105)
—(а2и — М) -f SMx2U2 — (х2 -f- 2аЕх) и = 0, (106)
где
X = L — аЕ. (107)
Из уравнений (105) и (106) следуют соотношения
E2 = (1 — Ми) + Mx2U3f (108)
2ахЕи = X2 (ЗМи — 1) и — (а2и — М). (109)
Исключая из этих соотношений E, получаем следующее квадратное уравнение для х:
х*и2 [(ЗМи — I)2 — Aa2Mu3] —
—2х2и [(ЗМи — 1) (а2и — М) — 2а2и (Mu-I)] +
+ (а2и — M)2 = 0. (HO)
Дискриминант (b2 — 4ас)/4 этого уравнения равен
4a2M А\иу где Au = а2и2 — 2Mu +1. (111)
Если ввести обозначения
(3 Mu — I)2 — Aa2Mu3 = Q+Q_, (112)
где
Q± = 1 — 3Mu ± 2а (Ми3)1'2, (113)
то решение уравнения {HO) можно записать в особенно простом виде
X2U2 - (Q±AU - Q+QJ/Q+Q- = (А„ - Q+)/Q+. (114)
С другой стороны, как легко проверить,
Au — Qt = и (аи}12 ± M1'2)2. (115)
Следовательно,
х = _(flwi/2 ± M1/2)l(uQ^.)1/2. (116)
61. Геодезические в экваториальной плоскости
65
Как станет ясно ниже, верхний знак в этой формуле соответствует обратным орбитам, а нижний — прямым орбитам. Этого соглашения о знаках мы будем придерживаться и далее.
Подставляя решение (116) для х в уравнение (108), находим
E=I 1 — 2Mu =F a (Mus)112VQ^2. (117)
Этому значению E соответствует следующее значение L:
L = CtE + х = =FM1/2 [а2и2 +1+2a {Mu*)li2]l{uQ^)1/2. (118)
Как уже объяснялось и как явствует из вывода формул (117) и (118), EwL есть соответственно энергия и момент количества движения на единицу массы частицы, описывающей круговую .орбиту, обратный радиус которой равен и. Из уравнений (117) и (118) и из уравнений (69) и (70) получаются следующие выражения для угловой скорости Q и скорости вращения а(ф):
0 d(p _ L — 2Mux __ (L— 2Mux) и2 mo\
W ЧГ (г2 + a2) E — 2аMхи ~ (I + а2и2) E — 2аМих* ’
^«р) = (Q — (о) = (г2 +а2 + 2Ма21г) Q/Д1/2 — 2aM/(r А1/2).
(120)
Подставляя сюда значение х, получаем окончательные выра-Q = =F(Mm3)1/2/[1 =F а (Мы3)1/2], (121)
[I =Fa(Mw3)172J Д„1/2 v ;
Интересно отметить, что условие существования неустойчивой ‘Круговой изотропной геодезической можно получить, рассматривая предел E -> оо уравнения (117), когда
I Qt = 1 — 3Mu =F 2а (Ми3)1'2 = 0 (123)
щ, следовательно,
I г3/2 — 3Mrlj2 =F 2аМ172 - 0. (124)
Прямая проверка показывает, что решение этого кубического уравнения для г1/2 согласуется со значением, которое дает уравнение (87).
? Вернемся к исследованию круговых орбит. Пусть LwE принимают значения, соответствующие круговой орбите, обратный
¦ * Для получения этих выражений удобно использовать следующие соот-
