Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
явлений вблизи горизонта событий, когда а М.)
В пределе а — M уравнения (224) и (225) принимают вид
I = (—г2 +2Mr +УИ2)/М, Г] - (r3/M2) (4М — г),
(238)
и мы можем получить явное (а не параметрическое) выражение для геометрического места критических точек ті (|). Действительно, разрешая первое из уравнений (238) относительно г, получаем
г (I) = M +(2 M2-Miy/2.
(239)
Подставим затем это значение в выражение для г\:
Л (I) = (l/М2) [М +
+ (2М2 — Ml)1/2P 13М — -(2 M2-Miy/2]. (240)
Напомним, что
а = +I cosec 0О,
P = (Л +я2 cos2 00 —
— I2 ctg2 O0)1/2. (241)
Видимая форма черной дыры для наблюдателя на бес ко неч но сти о п р ед ё-
ляется проекцией критической кривой на «небесную сферу» точно так же, как неустойчивая круговая орбита радиуса ЗМ (с критическим прицельным параметром Зу^З М) определяет форму черной дыры Шварцшильда. В нашем примере просто представить геометрическое
63. Изотропные геодезические
место критических точек (|, Tl) в виде замкнутой кривой в плоскости (а, Р). Для наблюдателя в экваториальной плоскости, смотрящего на черную дыру из бесконечности, видимая форма атой черной дыры будет определяться соотношением
К ±р) - Il9 л1/2(Б)1. (242)
Получающаяся кривая показана на рис. 38.
д. Изменение направления поляризации при движении вдоль изотропной геодезической. Обычно в общей теории относительности распространение света описывается на языке геометрической оптики. При таком описании основным понятием является понятие световых лучей, определяемых как траектории, ортогональные к световым фронтам. Более точно, световой луч есть кривая в пространстве-вре-мени, касательный вектор к которой в каждой точке указывает в направлении усредненного вектора Умова — Пойнтинга. Эти кривые, часто называемые траекториями фотонов, являются изотропными геодезическими общей теории относительности. При изучении изотропных геодезических в настоящей главе и в предыдущих главах мы придерживались именно такой точки зрения.
Поляр изация я в л я ется
другой характеристикой света, и эта характеристика важна для астрофизических исследований как раз при изучении черных дыр. Дело в том, что следует ожидать, что излучение, идущее от аккреционных дисков, окружающих черные дыры, поляризовано. И поэтому возникает вопрос, как связана поляризация излучения, принимаемого удаленным наблюдателем, с состоянием поляризации излучения, покидающего аккреционный диск. Ответить на этот вопрос довольно просто. Состояние поляризации описывается направлением электрического вектора в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, т. е. перпендикулярной вектору к, а электри-
Рис. 38. Такой видит экстремальную черную дыру Керра (а = М) удаленный наблюдатель в экваториальной плоскости, если черная дыра находится перед источником освещения и угловой размер этого источника больше углового размера черной дыры. Единица длины вдоль осей а и р (определенных уравнениями (241)) равна M.
S6
Глава 7. Геодезические в пространстбе-времени RepfiU
ческий вектор, ортогональный к, переносится параллельно вдоль светового луча, т. е. вдоль изотропной геодезической, описываемой вектором к. При такой постановке задачи ясно, что в геометрии Керра нужно просто отождествить вектор f в формулировке теоремы Уокера — Пенроуза в § 60 с вектором электрического поля и воспользоваться сохранением комплексной величины Ks при движении вдоль изотропной геодезической (величина Ks определена уравнением (12)).
В пространстве-времени Керра вейлевский скаляр 1F2 равен (см. уравнение (180) гл. 6)
IF2 = —м (г — ш cos 0)~3, (243)
и интеграл Уокера — Пенроуза становится равным
[(k-1) (f-n) — (k-n) (f-1) — (к-m) (f-m) -)- (k-m)(f-m)](r — tacos0) =
= ZC2 + iKv (244)
Подставляя сюда выражения для базисных векторов (уравнение (173) гл. 6), находим
(к-і) (f-n)-(к. n) (f. і) = (k*r - т+
-|- a (IirPr — №fr) sin2 0 = А, (245)
(k-m) (f-in) — (к-т) (f-т) =
= * W2 + я2) (^ф/9 — &0/ф) — a (k*p — k6f()] sin 0 = iB. (246)
Используя введенные выше обозначения А и В, можно следующим образом записать закон сохранения (умножив на (г -f ia cos 0) уравнение (244)):
P2 (А + і В) = (г + ia cos 0) (K2, + і Ki). (247)
Приравнивая в этом уравнении действительные и мнимые части слева и справа, получаем
А = (1/р2) (Кгг — aKi cos 0), (248)
В = (1/р2) (Kir + аК2 cos 0). (249)
Кроме того, условие ортогональности векторов к и f приводит к следующему соотношению:
(I - 2Mr/p2) k*f* + (2aMr sin2 0/р2) (tffp + Hfifi) - р2Л9/е -
— (р2/Л) krfr — (г2 + а2 + 2a2 Mr Sin2 0/р2) &ф/ф Sin2 0 = 0. (250) И наконец, уравнения геодезических (183) и (184) дают
р2?г = ?1 /2> р2?0 = @1/2>
p2k* = (1/А) [(г2 +а2)2 — а2Д sin2 0—2аМг\],
р2^ф = (1/Д) [2aMr + (р2 — 2Mr) І cosec2 0]. ^
Компоненты вектора к определяются из уравнений (251), а уравнения (248)-(250) определяют компоненты вектора f, причем
63. Изотропные геодезические
87
.трех уравнении как раз достаточно для этой цели, поскольку івектор f определен с точностью до слагаемого, пропорционального изотропному вектору к.
