Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
59
Ясно, что в общем случае нужно различать, как и в шварц-шильдовой геометрии, орбиты с прицельным параметром, большим или меньшим некоторого критического значения Dc (которое в свою очередь разное для орбит с прямым и обратным движением). Если значение прицельного параметра равно критическому, то среди решений уравнений геодезических будет неустойчивая круговая орбита некоторого радиуса гс. Если D > Dc, то мы получим орбиты двух типов: орбиты первого рода, начинающиеся на бесконечности, будут иметь в перицентре значение г > гс, орбиты же второго рода, для которых г в апоцентре меньше гс, будут обрываться в сингулярности при г = 0 (и 0 ^ = я/2). При D=Dc орбиты первого и второго рода сливаются, навиваясь бесконечное число раз на неустойчивую круговую орбиту радиуса г = гс. Если же D < Dc, то орбиты могут быть только одного типа: начинаясь на бесконечности, они пересекают оба горизонта и обрываются в сингулярности.
Неустойчивая круговая «фотонная орбита» радиуса гс описывается следующими уравнениями (ср. с уравнением (72)):
E2 + (2Mlrl) (L — аЕ)2 — (L2 — a2E2)!rl = 0, (78)
—(Ш/гАс) (L — аЕ)2 + (2Ir]) (L2 — а2Е2) = 0. (79)
Из уравнения (79) следует, что
тс = 3M (L — aE)/(L + аЕ) = 3M (Dc — a)I(Dc + а). (80)
Подставляя это соотношение в уравнение (78), находим E2 = (1/2TM2) (L +aEf!(L — аЕ) =
= (E2ITlM2) (Dc + a)31(Dc -а), (81)
откуда получаем
(Dc + а)3 - 27M2 (Dc — а). (82) *
Полагая
у = Dc -f- (83)
получаем кубическое уравнение
у3 — 27 M2 у + 54 аМ2 = 0. (84)
Орбитам с прямым вращением соответствует псложительное значение а > 0, а орбитам с обратным вращением — отрицательное значение а < 0. Если а > 0, то
у = — Ш cos (О + 120°), (85)
где
cos 30 = а/М, Dc = у — а, гс = 3M (I — 2aly),
* Из уравнений (80) и (82) легко вывести соотношение D2c == Sr^ + а2, являющееся простым обобщением результата, получаемого в шварцшильдовом пределе а = 0.
60
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
а в случае —а = | а | >0 имеем у = 6M cos Ф, cos 30 = I а |Ш, Dc = у + | а |,
гс = ЗУИ (I + 2 I а \/у). (86)
Нетрудно проверить, что
гс = 4М cos2 О = 2М {1 +cos [(2/3) arccos (±а/М)]}, (87)
где верхний знак соответствует обратным орбитам, а нижний — прямым орбитам.
Из уравнений (85) и (86) находим
a = O Dc=SyrJM, rc =ZM, (88)
a = M Dc = 2М rc = M (прямые орбиты), (89) а =—М Dc =7 Mi rc = 4М (обратные орбиты).
Вернемся теперь к уравнениям, описывающим орбиты с критическим значением прицельного параметра Dc. Выражение в правой части уравнения (72) имеет двойной корень, и поэтому его можно представить в виде
й2 = ME2 (Dc — а)2 и4 (и — ис)2 (2и + ис), (90)
где
и = 1/г, ис = IIrc = (Dc + а)/ЗМ (D0 — а). (91)
Уравнение (90) интегрируется:
[Е (Dc — а) М1/2 ] т = ± J и~2(и — ис)-1 (2и -f ис)~1/2 Au =
= ±(1 Iu2c) \(2и + ucfl2lu + (3UcY1I2 In I [(2и + ^c)1/2-
- (Suc)1I2 V [(2и + Uc)1!2 + (3ucyi*]}. (92)
Чтобы получить траектории геодезических с критическим значением прицельного параметра, лежащих в экваториальной плоскости, можно объединить уравнение (90) с уравнением
ф = [Еи2ІЗ (іа2и2 — 2Mu +1) ис ] [3DcUc — 2 (Dc + а) м], (93)
которое прямо следует из уравнения (69), в результате чего получим уравнение
TjT = ко- + («V - Ши + D ¦ (94>
Интегрирование дает
ф _ _______М1//2 Г______[3DcUc — 2 (Dc + а) и] dи______ ,gg.
“ а2 (Dc + a) J (и — и+) (и — и_) (и — ис) (2и + ис)1/2
61. Геодезические в экваториальной плоскости
61
где и± = 1 /г±. Интеграл в правой части выражения (95) является элементарным и может быть вычислен в явном виде. Окончательный результат содержит элементарные дроби и очень громоздкий, поэтому мы не будем его здесь выписывать.
На рис. 28 показаны орбиты, вычисленные с помощью уравнений (92) и (95). Ясно видны уже описанные выше особенности этих орбит. Характер орбит общего вида в экваториальной плоскости нетрудно понять из представленных графиков орбит с критическим значением прицельного параметра.
б. Времениподобные геодезические. При описании времени-подобных геодезических уравнения (69) и (70) для ф и і остаются неизменными, но уравнение (72) следует заменить уравнением
2^2 = _д + г2?2 + (2Mir) (L — аЕ)2 — (L2 — а2?2), (96)
:где E — энергия единицы массы частицы, описывающей данную траекторию.
1. Специальный случай L = аЕ. Представляет интерес поведение времени подобных геодезических с L= аЕ, а также изотропных геодезических с прицельным параметром D = а при пересечении горизонтов, характерное для орбит общего вида.
Если L = аЕ, то уравнение (96) принимает вид
:: V2T2 =(Е2 — \) г2 + 2Мг — а2, (97)
і уравнения для ф и і остаются такими же, как и для изотропных Геодезических (ср. с уравнениями (75)):
ф = аЕ!A, t = E (г2 + а2)/А. (98)
Интегрирование уравнения (97) приводит к следующему результату:
Ч = (E2-I)-1 ([(E2-I) г2 +2Mr-O2F2 —
М(Е2 — 1)"1/2 In {[(E2 — 1) г2 +2Мг — а2]1'2 +
+ г (E2 — I)1'2 + М!(Е2 — I)1/2}), (99)
*когда E2 > 1, и
'т = — (I — E2Y1 {[—(1 — E2) г2 + 2Mr — a2 F2 +
