Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Сформулируем и докажем основную теорему (Уокер и Пен-
роуз):
ТЕОРЕМА 1. Если k—аффинно параметризованная изотропная геодезическая, а вектор f ортогонален к и параллельно переносится вдоль этой геодезической, то в пространстве-времени типа D по классификации Петрова величина
Ks = klf (Un/ — Ijni — mithj -j- m?m/) Y^“1/3 =
= klf (2/,71, - 2Mitnj - g(i) Y^173 =
= 2 [(k • I) (f • n) - (k • m) (f • m)] Y2-'73 (12)
60. Теоремы об интегралах
SI
сохраняется вдоль геодезической, т. е.
WiKs =0. (13)
Эта теорема допускает более общую формулировку: пространство-время типа D по классификации Петрова допускает конформный тензор Киллинга.
Доказательство. Предположения теоремы об изотропности и аффинной параметризации геодезической к, об ортогональности ей вектора f и параллельном распространении вектора f вдоль к требуют выполнения следующих соотношений:
WVtkj = 0, Wifj = 0, (14)
(к • I) (к • п) — (к ¦ т) (к • т) = 0, (15)
(kl) (f-n) + (kn) (f I) — (к-т) (f т) - (к-т) (f т) = 0. (16)
.Поскольку
k'1 Vi ([(к • I) (f • п) - (к • т) (f • m)j Y2-1/31 =
= ?l71/3 j kl V1- [(к •!) (f • n) - (к • т) (f • т)] +
-L [(к-1) (f-n) - (к-т) (f-m)]/г1' Vl In1F2-'73), (17)
для доказательства теоремы требуется показать, что
kl Vi [(к • Ij (f • п) - (к • m) (f • т)] =
= - [(к I) (f п) - (к • т) (f • m)j k‘ Vt In V73- (18)
Распишем подробно левую часть уравнения (18), воспользовавшись уравнением (14):
Iti Vi [(к • I) (f • п) — (к • m) (f • т)] =
= (f • n) WkiIj¦ j- -f- (к • I) Wfinj-, і (f • т) HiHhnj- ? — (к • т) Wfimj-,(19)
Подставляя вместо ковариантных производных Ij- (- и т. д. выражения (6)—(8), получаем после упрощения следующее соотношение:
W Vi [(к • I) (f • п) — (к • m) (f • т)] =
= р[+ (f-n)(к-т)(к-т) - (f-m)(к-n)(к-т)] -f
+ х[— (f-n)(к-т)(к-1) -f (f-m)(k-n)(k-l)] f
+ ^[— (к-1)(к-т)(f-т) -)- (к-т)(к-т)(f -1)] -|-
+ я[+ (к- 0 (к-п) (f-m) — (k-m)(k-n)(f-l)]. (20)
Уравнения (4) и (11) позволяют получить для левой части уравнения (18) следующее выражение:
— [(к • I) (f • п) - (к • m) (f • т)] W Vi In W1/3 =
= Vs [(к • I) (f • п) — (к-т) (f-m)] [(k-n) D -J- (к -1) Д - (к-т)б —
52
Глава 7. Геодезические в пространСтвё-врёмени Керра
— (к • гп) б*] In W2 = [(к • I) (f • п) — (к • m) (f • т)] х
X [+Р(к*п) — |ы (к • 1) — т(к-т) -j- я (к-т)]. (21)
Равенство (18) (которое и составляет утверждение доказываемой теоремы) подсказывает нам, что члены в правой части уравнения (20) должны быть равны выражению в последних двух строчках уравнения (21). Проверим, что это действительно так. Рассмотрим, например, те члены в уравнении (20), которые появляются в правой части со спиновым коэффициентом [і в виде множителя. Вследствие уравнений (15) и (16) имеем
— (к • 1) (к • m) (f • т) + (к • т) (к • т) (f • 1) =
= - (к • 1) [(к • I) (f • п) + (к • n) (f • 1) - (к • т) (f • т)] +
+ (к• т)(к• т)(f • I) = — (к-1) [(к-1) (f-n) - (к-т) (f-m)]. (22)
Очевидно, что это выражение равно соответствующему выражению (со спиновым коэффициентом [I в виде множителя) в уравнении (21). Подобным же образом устанавливаются и другие равенства. Сохранение Ks при перенесении вдоль аффинно параметризованной изотропной геодезической, таким образом, доказано.
ТЕОРЕМА 2. Если к —аффинно параметризованная геодезическая в пространстве-времени типа D по классификации Петрова, то величина
JC = 21W21"2/3 (к. 1) (к • n) - QI к |2 = 21W21~2/3 (к • ш) (к • т) -
-(Q-|V2|-2/3) I к I2 (23)
сохраняется при перенесении вдоль к в том и только в том случае, если существует скаляр Q, удовлетворяющий следующим уравнениям:
DQ = D \ W21'2/3, AQ = A| 1F12I'273, 6Q = 6*Q = 0. (24)
Доказательство. Заметим сначала, что эквивалентность двух форм записи величины К в формулировке теоремы следует из уравнения (10).
Сохранение К при перенесении вдоль геодезической к требует, чтобы
2k‘Vi [(к • 1) (к • n) I <Ft1-2/3] = I к р k‘ViQ, (25)
поскольку величина |к|2 сохраняется. Вследствие уравнения (И) правая часть уравнения (25) может быть переписана в следующем виде:
I к211 A' v*Q = I к I2 [(к • n) DQ + (к -1) д Q -
— (к • ш) 6Q — (к • m) 8*Q]. (26)
60. Теоремы об интегралах
63
Левая часть уравнения (25) равна
2 Vj [(к -1) (к - n) I 1-2/3] =
= 21 1'2/3 [? Vi (к • 1) (к • п) + (к • 1) (к • n) V Vi In I ^21'2/3]. (27)
С другой стороны, вследствие соотношений (4), а также вследствие того, что к является геодезической, имеем
k' Vi In IW2 |-2/з = - 1I3 [(к • n) D + (к • 1) д—(к • ш) 6 - (к • m) S*] х
X (In W2 + In ?|) = - [(к • п) (р + р*) - (к • 1) (ц + |0 -
— (к • т) (т — л*) — (к • т) (т* — л)], (28)
kl V і (к • 1) (к • п) = (к • n) k‘kilj¦ і + (к • I) Wkiitj-'(29)
Подставляя теперь уравнения (28) и (29) в уравнение (27), а также выражения (6) и (7) для ковариантных производных Ij-и П/; находим
2k‘ Vi [(к • 1) (к • п) |Ч^2 J 2/3] =
= 21W2 Г273 {[(к• п) (р + р*) — (к. 1) (|* + ц*)] [(к• ш) (к-т) -
- (к • 1) (к • п)]} = I ?21-2/31 к I2 [(к • 1) (и- + и-*) - (к • п) (р + р*)] =
