Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
RiikmIiIm = Hli Ik, где H — — (Iі Vrf + ф2). (212)
Напомним еще раз, что 1 представляет конгруэнцию изотропных геодезических.
Из уравнения (212) следует, что
Riim MiIm = - HliIlkInl = О. (213)
В гл. 1 (уравнение (385)) было дано определение пространства-времени типа II по классификации Петрова. Нетрудно видеть, что соотношение (213) в точности совпадает с этим определением, причем I есть главное изотропное направление.
а. Приведение метрики Керра к форме Керра — Шилда. Начнем с конгруэнции изотропных векторов I, определенных уравнением (169). Выбирая E = 1, получаем
dt =Kr2 + a2)/A] Al;
dr = dA,, d6 =0, dq)=(a/A)dA,. ' (214)
Вместо t и ф введем новые переменные
dи = At — [(г2 + а2)/Л] dr, df = dcp — (а/Д) dr. (215)
В этих новых координатах изотропная геодезическая выглядит следующим образом:
Iі =( 0,1,0,0). (216)
Чтобы выразить метрику через новые переменные, удобно сначала записать ее в виде
ds2 = (Л/р2) [d/ — a sin2 0 dq)]2 —
— (sin2 0/р2) [(г2 + a2) dcp — а At]2 — (р2/Л) (dr)2 — р2 (d0)2. (217)
Прямая подстановка соотношений (215) теперь дает
ds2 = (Л/р2) (Au — a sin2 0 d9)2 — (sin2 0/р2) [(г2 -f- а2) dф — a d«J2
-j- 2dr (d« — a dip sin2 0) — p2 (d0)2. (218)
Соответствующий метрический тензор имеет вид
(ёи) =
(U) (О (в) (ф)
1 — 2/Иг/р2 1 0 2aMr sin2 0/р2
1 0 0 —a sin2 0
0 0 -P2 0
2aMr sin2 0/р2 - —a sin2 0 0 —12 Sin2 0/р2
(219)
57. Метрика в форме Керра—Шилда
37
Дальнейшей перегруппировкой членов можно привести ме-трику (218) к виду
dS2 =[(dи -f- dг)2 — (dr)2 — р2 (d0)2 — (г2 + a2) sin2 0 (dq>)2 —
— 2a sin2 0 dr df] — (2Mr/p2) (dw — a sin2 0 dq>)2. (220)
Поскольку ковариантные компоненты вектора 1 равны
Ii =(1, O1 0, ^asin2 6), (221)
можно записать метрику следующим образом:
ds2 = [(dx0)2 - (dr)2 — р2 (d0)2 — (г2 + а2) sin2 0 ^ф)2 —
— 2a Sln2 0 dr df] — (2/Wr/p2) IiIj dx{ dx>, (222)
где
dx° = d и + dr. (223)
Теперь покажем, что часть метрики (222), заключенная в квадратные скобки, представляет метрику плоского пространства-времени. Таким образом, мы привели метрику Керра к виду Керра — Шилда, и, следовательно, тот факт, что метрика является алгебраически специальной, становится частью ее определения.
Можно теперь проверить, что подстановки Ic = (г cos ф -J- a sin ф) sin 0, у = (г sin ф — a cos ф) sin 0,
X2 -f у2 = (г2 + о-2) sin2 0, z = г cos 0 (224)
приводят часть метрики (222), заключенную в квадратные скобки, ([ виду метрики плоского пространства-времени:
I (dx0)2 — (dx)2 — (dy)2 — (dz)2. (225)
рыпишем явный вид метрики Керра в новых координатах. Имеем
jps2 = (dx0)2 — (dx)2 — (dy)2 — (dz)2 — [2MrV(r4 + a2z2)] {dx° —
Ir- l/(r2 -)- a2) [r (x dx-f у dу) + a (x dy — у dx)] — (z/r) dz)2, (226)
ще в соответствии с подстановками (224) величина г2 неявно определяется уравнением
г4 — г2 (х2 -f- у2 +Z2 — а2) — а2г2 = 0. (227)
Метрика (226) явным образом аналитична всюду, кроме поверхностей
I X2 + у2 + Z2 = a2, Z= 0. (228)
Другими словами, метрика имеет кольцевую сингулярность в плоскости (х, у). Ниже в § 58 мы исследуем структуру этой сингулярности подробнее. Здесь же заметим, что Керр в своей оригинальной статье получил метрику именно в форме (226).
38
Глава 6. Метрика Keppa
58. Структура пространства-времени Keppa
Необходимо остановиться подробнее на двух вопросах, связанных со структурой пространства-времени Керра — обсудить природу изотропных гиперповерхностей и структуру сингулярности при г = 0 и 0 = я/2.
Рассмотрим сначала изотропные гиперповерхности, расположение которых определяется нулями функции Д (г):
Д (г) = г2 — 2Mr + а2 = 0, (229)
г = г+ = M + (M2 — а2)1/2, г = г, = M - (M2 ~ а2)1'2. (230)
Эти корни действительны, положительны и различны, если а2 < < M2. Будем предполагать, что это неравенство выполнено. Поскольку
Д > 0 при г > г+, г < /•_,
л ^ л ^ ^ (231)
Д < 0 при г. < г < г+, 4
ясно, что, как и в случае пространства-времени Рейсснера — Нордстрема, нужно различать три области:
А при г < гВ при r„ < г < r+\ С при г > г+. (232)
(Ниже мы увидим, что область А можно распространить на все отрицательные значения г, даже если область С распространяется на все положительные значения г.) Мы увидим, что, как и в геометрии Рейсснера — Нордстрема, поверхность г = г+ представляет собой горизонт событий, а поверхность г = г„ — горизонт Коши.
Мы уже указывали, что в пространстве-времени Керра не равные нулю компоненты тензора Римана (перечисленные в уравнениях (142)) расходятся только при г = 0 и 0 = я/2 и что это единственная сингулярность геометрии Керра. Поскольку расходимость на поверхности г = 0 появляется только при значении
0 = я/2, ясно, что структура сингулярности не может быть такой же, как структура сингулярности при г = 0 в метриках Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема. Чтобы понять структуру сингулярноста пространства-времени Керра, нужно прежде всего устранить произвол, вносимый системой координат (л, 0, ср) на поверхности г = 0. Этот произвол был устранен выбором «декартовых» координат (х, у, г) в п. 57, а. В метрике (226), записанной в этих координатах, величина г2 задавалась неявно уравнением (227), связывающим координаты х, у и z, причем
