Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
В этом легко убедиться с помощью преобразований Лоренца (4), подставив в левую часть выражения для х, у, z и t через координаты и время этого же события х', у', z и t! в другой системе отсчета. Инвариантность интервала означает, что утверждение «два события разделены интервалом S» имеет абсолютный характер, т. е. оно справедливо во всех инерциальных системах отсчета.
Классификация интервалов. Понятие интервала между событиями является обобщением понятий промежутка времени и расстояния между точками. В зависимости от того, какая составляющая — временная или пространственная — преобладает в рассматриваемом интервале, возникает деление интервалов на времениподобные и пространственноподобные. Для времениподобного интервала c2t22 > /22, т. е. 5,2 > 0. В этом случае всегда можно найти такую систему отсчета К', в которой рассматриваемые события происходят
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
25
в одной точке, т. е. 1\2 = 0, и промежуток времени между ними в такой системе отсчета является собственным временем t\2 — т0:
о2 _ „2/2 _ /2 _ „2/'2 _ /'2 _ „2Т2 °12 — С112 12 ^ 12 М2- сх0-
Таким образом, для событий, разделенных времениподобным интервалом, всегда существует такая система отсчета, в которой этот интервал (с точностью до постоянного множителя с) представляет собой просто промежуток времени т0 между этими событиями. Для этих событий понятия «раньше», «позже» имеют абсолютный характер. Очевидно, что между такими событиями может иметь место причинно-следственная связь.
Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом, c2t]2 < ^?2> т- е- ^12 < 0> а интервал является мнимым числом. В этом случае всегда можно найти такую систему отсчета К', в которой эти события происходят одновременно, т. е. t\2 = 0:
„2,2 _ /2 _ r2i'2 _ /'2 _ _/'2
с М2 М2 — с М2 М2 — М2-
Абсолютная величина пространственноподобного интервала представляет собой пространственное расстояние между событиями в той системе отсчета, в которой эти события произошли одновременно. Понятия «одновременно», «раньше», «позже» для таких событий относительны: всегда можно указать такие системы отсчета, в которых первое событие происходит раньше второго, и такие, в которых второе происходит раньше первого. Ясно, что между событиями, для которых теряют абсолютный смысл понятия «раньше» и «позже», не может быть причинно-следственной связи.
Впрочем, невозможность причинной связи между событиями, разделенными пространственноподобным интервалом, для которых Zj2 > ctl2, непосредственно видна из того, что никакой сигнал, никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей с.
Равный нулю интервал между событиями, связанными световым сигналом, называют светоподобным.
Подчеркнем еще раз, что разделение интервалов между событиями на времениподобные и пространственноподобные вследствие инвариантности интервала является абсолютным, т. е. не зависящим от системы отсчета.
Закон преобразования скорости. Преобразования Лоренца для координат и времени события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой позволяют сразу получить и закон преобразования скорости частицы. Пусть некоторая частица за малый промежуток времени At по часам системы отсчета К переместилась из точки с радиус-вектором г в точку с радиусом-вектором г + Аг. Тогда по определению скоростью и этой частицы относительно системы К
26
I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
называется предел отношения Ar/At при А/—*0. Скоростью и' этой же частицы в системе отсчета К' будет предел отношения Аг'/Аt', где At' и Дг‘ — промежуток времени и изменение радиуса-вектора в К1 для той же пары событий, т. е. для конечного и начального положений частицы. Применяя преобразования Лоренца (4) к конечному и начальному положениям частицы и вычитая их почленно, получим
, At’ Ах
Дх +vAt . . I . . I . . с
Ах = —р , Ау=Ау, Az = Az, At
---------- , -------------------------------------- ,-------=--•
V1 — vie V 1 — vie
Разделив почленно первые три равенства на четвертое, находим
- д/i —— — Vl--
’ V1 „2 . А/ V1 Л
Ах А у
---Г + v ,
Ах __ At_________ Ау_______ At ' cz Az _ At___________
. v Ax' ’ - - v Дх' ’ ill' Д*
I 1—т —г I —т —г 1 i—т —Г
cz At с1 At с2 At
Переходя в этих формулах к пределу при At—*0, At'—*0, получим
u'x + V V* с 2 V* с2
’ “г =---------()
1+c2Ur 1+7“Г
Выражения (7) представляют собой закон преобразования скорости частицы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Отметим, что поперечные к направлению относительной скорости систем отсчета компоненты скорости частицы иу и и.г, в отличие от поперечных координат у и z, не остаются неизменными. Это связано с тем, что при переходе от одной системы отсчета к другой время преобразуется.
