Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
• Положите длинную деревянную линейку на указательные пальцы разведенных в стороны рук и начните медленно, без рывков, сближать руки в горизонтальной плоскости. Объясните, почему скольжение линейки происходит поочередно то по одному, то по другому пальцу.
• Как следует поступать водителю при необходимости осуществить экстренное торможение автомобиля: следует ли резко нажать на педаль тормоза и заблокировать колеса? Будет ли тормозной путь при этом меньшим?
• Объясните, почему блокировка колес (юз) при торможении способствует возникновению заноса автомобиля?
• При шлифовке трущихся неровных поверхностей двух тел сила трения сначала убывает, а затем при достижении определенной гладкости поверхностей начинает возрастать. Почему?
• Чем объясняется независимость силы сухого трения от видимой площади контакта?
• Почему застрявший в доске гвоздь легче вытащить, если при этом поворачивать его из стороны в сторону?
• В ременных передачах приводной ремень соскальзывает обычно при остановке или резком уменьшении скорости ведомого шкива, например из-за заедания приводимого во вращение вала. Почему?
д Нелинейные свойства трения. В принятой модели сухого трения сила трения скольжения считается не зависящей от скорости. Поэтому в условиях, когда прижимающая тело к поверхности сила неизменна, может сложиться впечатление, что рассмотрение дви-
122
II. ДИНАМИКА
жения при учете трения сводится к задаче о движении тела под действием постоянных сил. Однако из уже рассмотренных примеров ясно, что в действительности вопрос не так прост.
Вернемся к задаче о движении бруска по наклонной плоскости. В отсутствие трения движение бруска как вверх, так и вниз происходит с одним и тем же ускорением g sin а, так как уравнение второго закона Ньютона не зависит от направления движения бруска. При наличии трения, когда добавляется еще одна постоянная сила, дело не сводится просто к изменению значения ускорения, а ситуация становится качественно иной. Движение вверх и вниз теперь описывается разными уравнениями, и значение ускорения изменяется скачком при перемене направления движения. Здесь мы впервые сталкиваемся с проявлением так называемых нелинейных свойств. В рассматриваемом случае нелинейность проявляется в том, что уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона) претерпевает качественные изменения в процессе движения: когда значение скорости проходит через нуль, одно уравнение заменяется другим.
Дополнительные сложности, связанные с сухим трением, возникают при криволинейном движении, когда при неизменном модуле силы трения ее направление непрерывно изменяется. Такой пример рассмотрен в следующей задаче.
Задача
Разгон на кольцевой трассе. Гонки мотоциклистов происходят по узкой круговой трассе. Трогаясь с места, мотоциклист стремится как можно быстрее набрать скорость. Какую часть круга он пройдет к моменту достижения максимально возможной для этой трассы скорости?
Решение. Будем считать, что мощность двигателя мотоцикла такова, что его максимальная скорость при движении по прямой больше возможной скорости на данной круговой трассе. Максимальная скорость на данной трассе ограничена тем, что центростремительное ускорение v2/R мотоциклу сообщает сила трения колес о дорогу, максимальное значение которой равно \*->ng. Поэтому максимальная скорость на трассе определяется условием
и равна
•
В процессе разгона мотоцикла эта максимальная сила трения (которую в дальнейшем будем обозначать через F) имеет составляющую, направленную по касательной к траектории, чтобы обеспечить возрастание скорости. Если мотоциклист стартует в точке А (рис. 90), то в произвольной точке участка разгона, положение которой определяется углом ф, направление действующей на мотоцикл силы трения F составляет некоторый острый угол а с направлением скорости у. Поэтому
§ 21. ПРОЯВЛЕНИЯ СУХОГО ТРЕНИЯ
123
уравнение второго закона Ньютона в проекциях на касательное и нормальное к траектории направления имеет вид
dv с,
т-т- = F cos а, at
(4)
т — = F sin а. К
(5)
Продифференцируем уравнение (5) по времени, учитывая, что при разгоне изменяется не только скорость мотоцикла v, но и угол а, в то время как R и F остаются неизменными:
. v dv da
2mRdI = Fcosa17-
(6)
Подставляя в правую часть (6) F cos а из уравнения (4), получаем связь между скоростью изменения угла а и скоростью мотоцикла:
da
2- = -R dt’
(7)
При движении по окружности линейная скорость i; связана с угловой скоростью со = dy/dt соотношением v = R dy/dt. Поэтому равенство (7) принимает вид ^ dy _ da dt dt
\
Рис. 90. Сила трения при разгоне по кольцевой трассе
— при оптимальном разгоне, использующем всю возможную силу сцепления колес с дорогой, скорость изменения угла а в каждый момент времени вдвое больше скорости изменения угла f. В начальный момент, когда f = 0, угол а также равен нулю: при трогании с места сила сцепления колес с дорогой направлена вперед. Поэтому в любой точке участка разгона а = 2<р. В конце разгона а = я/2: вся сила сцепления идет на сообщение центростремительного ускорения. Таким образом, разгон заканчивается при *р = я/4: участок разгона составляет всего одну восьмую часть круговой трассы.
