Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение (3) дает
О = N — mg cos а. (4)
Отсюда следует, что нормальная сила N реакции не зависит от того, движется брусок или нет, и равна mg cos а.
Значение силы трения, напротив, зависит от того, движется брусок или нет; это
может быть либо трение скольжения, либо
трение покоя. Рассмотрим сначала случай, когда брусок покоится относительно доски. Тогда вторая проекция его ускорения а (проекция на направление вдоль наклонной плоскости) тоже равна нулю, и уравнение (3) дает
О = mg sin а — Fтр, (5)
откуда /“"тр = mg sin а. Видно, что значение силы трения покоя возрастает с увеличением наклона доски, т. е. угла а. Однако сила трения покоя не может превышать значения \iN. Значение силы N, равное mg cos а, убывает с ростом угла а. Поэтому ясно, что существует некоторый предельный угол акр, при котором неподвижный относительно доски брусок на-
чнет соскальзывать с нее. Этот критический угол наклона доски находится из условия
mg sin акр = p.mg cos акр,
Рис. 79. Силы, действующие на брусок, соскальзывающий с наклонной плоскости
откуда
tg акр = [X.
(6)
§ 20. СИЛЫ В ПРИРОДЕ. ТРЕНИЕ
113
Критический угол не зависит от массы бруска. Измерение этого угла позволяет на опыте определить коэффициент трения (х без использования приборов для измерения сил.
При постепенном увеличении наклона доски брусок остается неподвижным, пока угол а не достигнет значения акр. При а > акр сила трения — это
•ф
сила трения скольжения, и ее значение равно [хА/ = \img cos а. Направлена она в сторону, противоположную скорости бруска. В этом случае проекция уравнения (3) на направление вдоль наклонной плоскости
та = mg sin а — F^
служит не для определения силы трения, а для нахождения ускорения бруска. Подставляя в это равенство F^ = |xmg cos а, находим
а = g(sin а — [х cos а). (7)
Отметим, что при а < акр выражение (7) формально дает отрицательное значение проекции ускорения, что не имеет физического смысла при условии, что вначале брусок был неподвижен. Однако этот результат имеет физический смысл, если брусок движется вниз по наклонной плоскости благодаря скорости, которую он уже имел в начальный момент. Действительно, при получении результата (7) использовалось не то, что а > акр, а лишь то, что сила трения скольжения направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Именно так и будет, если, например, толчком сообщить бруску некоторую начальную скорость, направленную вниз. Отрицательное значение проекции ускорения при а < акр означает, что брусок будет двигаться вниз равнозамедленно, пока не остановится.
Если же толчком сообщить бруску начальную скорость вверх вдоль наклонной плоскости, то сила трения скольжения будет сначала направлена вниз и ускорение бруска, как легко убедиться, будет даваться выражением
а = g(sin а + [х cos а).
Брусок будет двигаться вверх равнозамедленно, пока его скорость не обратится в нуль. Дальше он либо останется лежать неподвижно, если а < а„„, либо начнет соскальзывать вниз с ускорением, даваемым формулой (7), если а > акр.
2. Передвижение волоком. Под каким углом а нужно тянуть за веревку тяжелый ящик массы т для того, чтобы передвигать его волоком по горизонтальной шероховатой поверхности с наименьшим усилием, если коэффициент трения равен |х? Каково значение этой минимальной силы?
Решение. Будем считать, что внешняя сила F приложена так, что ящик движется поступательно. В этом случае его можно рассматривать как материальную точку. Действующие на ящик силы показаны на рис. 80.
Ясно, что внешняя сила F будет минимальной, когда ящик движется рав номерно. При этом равнодействующая всех приложенных к ящику сил соглас
Рис. 80. Силы, действующие на ящик, передвигаемый волоком
114
II. ДИНАМИКА
но второму закону Ньютона равна нулю:
F + N + FTp + mg = 0. (8)
Для исследования соотношения (8) запишем его в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
F cos а — Z7™ = 0, (9)
F sin а + N — mg = 0.
(10)
Задача заключается в том, чтобы исследовать зависимость силы F от угла а. Для этого необходимо исключить из уравнений (9) и (10) силу реакции N и силу трения F , так как их значения тоже зависят от угла а. При скольжении ящика сила трения F выражается через нормальную силу реакции N с помощью соотношения (2): FTp = \xN. Выражая силу N из соотношения (10): N = mg — F sin а, получаем
