Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
• Введите такую единицу силы, чтобы в законе всемирного тяготения (1) значение гравитационной постоянной С равнялось единице. Сравните эту единицу силы с ньютоном.
• Существуют ли отклонения от законов Кеплера для планет Солнечной системы? Чем они обусловлены?
• Как из законов Кеплера установить зависимость силы тяготения от расстояния?
• Почему гравитационную постоянную С нельзя определить на основе астрономических наблюдений?
• Что такое гравитационное поле? Какие преимущества дает описание гравитационного взаимодействйя с помощью понятия поля по сравнению с представлением о дальнодействии?
• В чем заключается принцип суперпозиции для гравитационного поля? Что можно сказать о гравитационном поле однородного шара?
• Как связаны между собой напряженность гравитационного поля и ускорение свободного падения?
• Рассчитайте массу Земли М, используя значения гравитационной постоянной С = 6,67• 1СГ11 м3/(кг-с2), радиуса Земли R = 6370 км и ускорения свободного падения g- = 9,81 м/с2.
д Геометрия и тяготение. С простой формулой закона всемирного тяготения (1) связано несколько тонких моментов, заслуживающих отдельного обсуждения. Из законов Кеплера следует,
§ 22. СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ
131
что расстояние г в знаменатель выражения для силы тяготения входит во второй степени. Вся совокупность астрономических наблюдений приводит к выводу, что значение показателя степени равно двум с очень высокой точностью, а именно 2,000 ООО ООО. Этот факт в высшей степени замечателен: точное равенство показателя степени двум отражает евклидову природу трехмерного физического пространства. Это значит, что положение тел и расстояние между ними в пространстве, сложение перемещений тел и т.д. описывается геометрией Евклида. Точное равенство двум показателя степени подчеркивает то обстоятельство, что в трехмерном евклидовом мире поверхность сферы точно пропорциональна квадрату ее радиуса.
Инертная и гравитационная массы. Из приведенного вывода закона тяготения следует также, что сила гравитационного взаимодействия тел пропорциональна их массам, а точнее — инертным массам, фигурирующим во втором законе Ньютона и описывающим инертные свойства тел. Но инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно разные свойства материи.
В определении массы на основе инертных свойств используется закон F — та. Измерения массы в соответствии с этим ее определением требуют проведения динамического эксперимента — прикладывается известная сила и измеряется ускорение. Именно так с помощью масс-спектрометров определяются массы заряженных элементарных частиц и ионов (а тем самым и атомов).
В определении массы на основе явления тяготения используется закон F = Ст{т2/г2. Измерение массы в соответствии с таким определением производится с помощью статического эксперимента — взвешиванием. Тела располагают неподвижно в гравитационном поле (обычно это поле Земли) и сравнивают действующие на них силы тяготения. Определенная таким образом масса называется тяжелой или гравитационной.
Будут ли значения инертной и гравитационной масс одинаковыми? Ведь количественные меры этих свойств в принципе могли бы быть различными. Впервые ответ на этот вопрос был дан Галилеем, хотя он, по-видимому, и не подозревал об этом. В своих опытах он намеревался доказать, что неверны господствовавшие тогда утверждения Аристотеля о том, что тяжелые тела падают быстрее легких.
Чтобы лучше проследить за рассуждениями, обозначим инертную массу через тин, а гравитационную — через тгр. На поверхности Земли сила тяжести F тогда запишется как
т^М о
F = G = mTpg,
132
II. ДИНАМИКА
где g — напряженность гравитационного поля Земли, одинаковая для всех тел. Теперь сравним, что произойдет, если два тела одновременно сбросить с одной высоты. В соответствии со вторым законом Ньютона для каждого из тел можно написать
т«на = тгрё,
откуда
Но опыт показывает, что ускорения обоих тел одинаковы. Следовательно, одним и тем же будет для них и отношение т /тпи. Итак, для всех тел
= const
"',™
— гравитационные массы тел пропорциональны их инертным массам. Надлежащим выбором единиц их можно сделать просто равными.
Совпадение значений инертной и гравитационной масс подтверждалось много раз со все возрастающей точностью в разнообразных опытах ученых разных эпох — Ньютона, Бесселя, Эт-веша, Дикке и, наконец, Брагинского и Панова, которые довели относительную погрешность измерений до 10-12. Чтобы лучше представить себе чувствительность приборов в таких опытах, отметим, что это эквивалентно возможности обнаружить изменение массы теплохода водоизмещением в тысячу тонн при добавлении к нему одного миллиграмма.
В ньютоновской механике совпадение значений инертной и гравитационной масс не имеет под собой физической причины и в этом смысле является случайным. Это просто экспериментальный факт, установленный с очень высокой точностью. Если бы это было не так, ньютоновская механика ничуть не пострадала бы. В созданной Эйнштейном релятивистской теории тяготения, называемой также общей теорией относительности, равенство инертной и гравитационной масс имеет принципиальное значение и изначально заложено в основу теории. Эйнштейн предположил, что в этом совпадении нет ничего удивительного или случайного, ибо в действительности инертная и гравитационная массы представляют собой одну и ту же физическую величину.
