Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
F= \x(mg — F sin а).
Подстановка этого выражения в (9) дает
F =
ms
(11)
cos а + (х sin а'
Числитель в правой части (11) не зависит от а, поэтому сила F будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Следовательно, нужно найти максимум выражения
/(а) = cos а -f [х sin а.
Это можно сделать разными способами, например приравняв нулю его производную по а. В результате найдем, что значение /(а) максимально
Рис. 81. Замена сил N и одной силой Q
Рис. 82. К определению наименьшей силы F
при tg а = [х. При этом /(а) = 1 /cos а и минимальная сила, как видно из
(11), равна
F = \img cos а = mg sin а. (12)
Итак, тянуть за веревку следует так, чтобы она составляла с горизонтом угол а = arctg [х. Значение минимальной силы дается формулой (12).
§ 20. СИЛЫ В ПРИРОДЕ. ТРЕНИЕ
115
К ответам на вопросы этой задачи можно прийти гораздо быстрее, если с самого начала рассматривать силу Q, равную векторной сумме N и F (рис. 81). Как было выяснено, она всегда направлена под углом ф = arctg ц. к нормали с поверхностью. Теперь условие равномерного движения ящика по горизонтальной шероховатой поверхности запишется в виде
F + Q + mg = 0.
Это уравнение удобно исследовать графически. Прежде всего изобразим на чертеже известную по модулю и направлению силу mg (рис. 82). Что касается слагаемого Q, то нам заранее известно лишь его направление (см. рис. 81). Поэтому через конец вектора mg проводим прямую, составляющую угол ф = arctg |д. с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу Q, совмещая ее начало с концом вектора mg. Положение конца вектора пока неизвестно. В соответствии с (13) сила F должна замыкать треугольник сил, т. е. соединять конец вектора Q с началом вектора mg. Как видно из рис. 82, сила F будет наименьшей, когда ее направление перпендикулярно направлению Q, т. е. образует угол ф с горизонтом. Ее значение при этом,
как видно из того же рисунка, есть F = mg sin ф.
3. Перемещение волоком с ускорением. В условиях предыдущей задачи найдите наименьшую силу, сообщающую ящику заданное ускорение а по горизонтали.
Решение. Рассматривая сумму нормальной силы N реакции опоры и силы трения как одну силу Q, направленную под углом ф = arctg ц к нормали с поверхностью, запишем второй закон Ньютона в виде
та = mg + Q + F. (14)
Это уравнение, как и уравнение (13), удобно исследовать графически
(рис. 83). Чтобы модуль силы F был минимален, и в этом случае сила F должна быть перпендикулярной силе Q, т. е. должна составлять тот же самый угол ф = arctg ц. с горизонтом.
Выражая модуль силы Fmin как сумму гипотенузы верхнего треугольника на рис. 83 и одного из катетов нижнего, после элементарных преобразований получаем
F = m(g sin ф + a cos ф). (15)
Легко видеть, что этот результат удовлетворяет двум очевидным предельным случаям: при а = 0 из (15) получается ответ
(12) предыдущей задачи, а при отсутствии трения (ф = 0) F = та.
При достаточно большом ускорении а, когда g/a < ц., перпендикуляр, опущенный из конца вектора а, пересечет направление Q ниже конца вектора mg
и, поскольку сила Q не может быть направлена вниз, наименьшая по модулю сила F замыкает треугольник векторов mg и та, т. е. Q = 0. В этом случае перемещаемый ящик просто не соприкасается с горизонтальной поверхностью, по которой его пере-
та
Рис. 83. Сложение сил при перемещении ящика с ускорением
116
II. ДИНАМИКА
двигают. Из рис. 84 видно, что
F = тVg1 + а2, tg а
_ g
< ц..
4. Блок и наклонная плоскость. В системе, показанной на рис. 85, в начальный момент тела покоятся. Определите их ускорение и силу натя-
\а »
У//////////А V/////////////////M
mg' /
/
Г /
/
У
Рис. 84. Сложение сил при Q = 0
Рис. 85. Система с трением между бруском и наклонной плоскостью
жения нити в последующие моменты времени. Массой блока и нити, а также трением в оси блока можно пренебречь.
Решение. Очевидно, для решения этой задачи следует рассмотреть действующие в системе силы и составить уравнения второго закона Ньютона для бруска на наклонной плоскости и подвешенного к нити груза. Здесь, однако, мы столкнемся с трудностью: для решения уравнений нужно знать, как направлены все действующие силы. Но как направлена действующая на брусок сила трения? Это зависит от направления его движения. Получается порочный круг: чтобы найти ускорение бруска, нужно знать направление этой силы, а чтобы найти ее направление, надо знать, в какую сторону будет двигаться неподвижный вначале брусок, т. е. знать направление его ускорения.
