Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
• Почему значение показателя степени, в которой расстояние между телами входит в закон всемирного тяготения, связано с евклидово-стью трехмерного физического пространства?
• Как определяются инертная и гравитационная массы в механике Ньютона? Почему в некоторых книгах даже не упоминается об этих величинах, а фигурирует просто масса тела?
§ 23. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
133
• Предположим, что в некотором мире гравитационная масса тел никак не связана с их инертной массой. Что можно было бы наблюдать при одновременном свободном падении разных тел?
• Какие явления и опыты свидетельствуют о пропорциональности инертной и гравитационной масс? а
§ 23. Движение в поле тяготения
Рассмотрим некоторые примеры движения тел, когда единственная действующая на тело сила — это сила тяготения. В случаях, когда речь идет о движении брошенного камня или снаряда, выпущенного из пушки, поле тяготения Земли в пределах траектории можно считать однородным. При этом действующая на тело сила всюду одинакова и в соответствии со вторым законом Ньютона движение происходит с постоянным ускорением а = g. Фактически это соответствует приближению «плоской Земли», когда вектор ускорения всюду направлен одинаково, вертикально вниз, а его модуль 9,8 м/с2 принимается равным значению GM3/R2 напряженности гравитационного поля вблизи поверхности Земли. Такое движение было подробно изучено ранее в главе, посвященной кинематике. Напомним, что траектория в этом случае представляет собой параболу с вертикальной осью симметрии.
Приближение «плоской Земли» справедливо лишь при сравнительно небольших скоростях, пока перемещение тела мало по сравнению с радиусом Земли. В противном случае необходимо учитывать изменение вектора g напряженности гравитационного поля либо по модулю (при движении в радиальном направлении), либо по направлению (при движении вдоль поверхности шарообразной Земли), либо то и другое вместе.
Выясним сначала, возможно ли свободное движение тела параллельно земной поверхности. Очевидно, что в приближении «плоской Земли» это невозможно, так как параболическая траектория непременно пересечет плоскую поверхность Земли. Если же принять во внимание кривизну земной поверхности, то при некотором (достаточно большом) значении горизонтальной скорости движение вдоль поверхности становится возможным.
Первая космическая скорость. В
этом случае траектория тела представляет собой окружность, стелющуюся параллельно земной поверхности (рис. 94), а соответствующая скорость движения тела называется первой космической скоро-
Рис. 94. Движение по низкой круговой орбите
134
И. ДИНАМИКА
стью V1# Ее значение легко найти из условия, что в рассматриваемом случае в соответствии со вторым законом Ньютона центростремительное ускорение v2/R телу сообщает сила тяжести mg:
откуда
7] = VgR = 7,9 км/с. (2)
Приведенное значение первой космической скорости получается
при подстановке в формулу значения ускорения свободного падения g = 9,8 м/с2 и радиуса Земли Л = 6370 км.
В действительности такое движение, разумеется, невозможно из-за сопротивления воздуха. Движение спутника Земли по круговой орбите возможно только тогда, когда орбита пролегает выше атмосферы. Самые низкие круговые орбиты спутников проходят на высоте более 100 км.
Круговая скорость. Скорость на такой круговой орбите радиуса г > R называется круговой, и ее значение зависит от высоты h орбиты над поверхностью Земли. Для ее определения в правую часть уравнения второго закона Ньютона (1) следует вместо mg подставить значение силы тяготения на расстоянии г = R + h от центра Земли:
тк?„ тМ,
—^=С—(3) г г1
откуда
¦2 =G^. (4)
г
Формуле (4) можно придать другой, несколько более удобный вид, если выразить GM3 через ускорение свободного падения g у поверхности Земли: GM3 = gR2. Тогда
v2 =^- = (5)
КР г R + h v '
С увеличением высоты орбиты круговая скорость уменьшается. Для высот h, малых по сравнению с радиусом Земли R, выражение для чкр можно упростить, используя приближенную формулу
(1 + х)~112 % 1 — (х« 1 )
В этом случае из (5) получаем
% = = У, тггш * у' (‘ - я) •
(6)
§ 23. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
135
Из (6) видно, что для круговой орбиты на высоте, например, 200 км скорость меньше первой космической приблизительно на 1/64 ее часть, т. е. на 124 м/с.
Задачи
1. Расстояние до Луны. Звездный месяц, т. е. период Т обращения Луны вокруг Земли в гелиоцентрической системе отсчета, равен 27,32 суток. Зная радиус Земли R = 6370 км и ускорение свободного падения у ее поверхности ? = 9,81 м/с2, найдите расстояние г до Луны.
