Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Выражения (7.13) и (7.15) являются несколько формальными, и им следует придать точный смысл. Это можно сделать, если представить их в виде бесконечных разложений по модам. Такие разложения для координат и функциональных производных имеют вид
d+W = — ihW
(7.14>
и построить действие
п ф О
ОО
оо
п— 1
(7.16)
(7.17)
Полевая теория свободных суперструн
71
где
где
хп = К _ а-п + йп~ «'-»)• (7Л8)
= ~ + а-в ~ “» _ (7,19)
^ П = — ОО
ОО ОО
—7= V (9«а + i0^«) е2‘"а = 0о + V (0? cos 2па + 0“ sin 2т) , V я "
п—оо n=i (7.20)
¦*» = л/1г ? (sr-гЛ) е2'”-
л«— ОО
= + У 2 f cos2«ct -1—sin 2шЛ|, (7.21)
«1^оа fa va0“ ae« /)
0“ = у=- (5па + 5'л + 1ST + iS-n), (7.22)
0“ = -^== (Si“ - - iST + iS2~n). (7.23)
Координаты xh, x‘n, 0“ и 0° являются координатами гармо-
нических осцилляторов. Тогда поле TF[x(a), 0(a)] может быть разложено по компонентным полям, если использовать полный набор волновых функций гармонических осцилляторов i|)n(x) и соответствующие волновые функции %п п, (0, 0) для антикоммутирующих переменных [66]:
Т [х (ст), 0 (ст)] = Y, ^ (nk, п', ms, m't) (хй, 0О) X
nk, nv ms, m't
X П %k (**) П (xt) П Xms, (0S, §,)• (7-24)
Функциональная мера в действии (7.15) выбирается такой, чтобы после интегрирования по координатам гармонических осцилляторов получалось следующее действие:
5 хо^-8% I" 2 X! ^ (*<>> ®о) ( П Мф) ф{га} (х0, 0О) +
L {«}
Jr~2 (^О» ®о) д_ ^ (,Х0> ®о)1 • (7.25)
72
Глава 7
В этом выражении символ {п} обозначает набор числовых индексов каждого бозонного и фермионного осцилляторов. Первая сумма в (7.25) содержит только бозонные поля, а вторая — только фермионные. Следовательно, действие является суммой обычных кинетических действий для всех компонентных полей струны.
Если мы обратимся теперь к открытым струнам и струнам типа Па, то в этих случаях описанное выше построение использовать нельзя. Действуя по аналогии с построением безмассовых супермультиплетов в гл. 4, мы можем найти SO (8)-ковариант-ный формализм с векторными или тензорными суперполями. Но такие поля имеют высокую степень приводимости и должны удовлетворять довольно сложным условиям связи, которые делают формализм неприемлемым. Работая в суперполевом формализме, следует попытаться использовать скалярные суперполя, чтобы избежать высокой степени проводимости компонентных полей. Это достигается путем нарушения явной SO (8)-инвариантности до инвариантности относительно группы S?/(4)X^(1) [68]. Рассмотрим два SO(8)-спинора Аа и Ва. Введем SJ7 (4)-спиноры Аа-+(АЛ, АА), где А = 1, ..., 4, и аналогично для Ва\ тогда
Спиноры S1" и S2°, присутствующие в киральных теориях,, распадаются на пары SU(4) -спиноров:
и аналогичные антикоммутаторы для других S, определим координаты и производные по следующим правилам:
1
АаВа = ^(ААВА + ААВА).
(7.26)
(7.27)
(7.28)
а в теориях типа Па — на пары
S10.
—> oyi, о »
(7.29)
(7.30)
Используя антикоммутатор
{5Л (сг), SB (сг')} = яблб (а — а)
(7.31)
Полевая теория свободных суперструн
73
0Д — /—-тг SA,
-vitp+
(7.34)
(7.35)
После этого алгебра (4.10) — (4.12) для случая суперструн типа Па переписывается в терминах координат и вариационных производных (7.32) — (7.35). Иногда бывает удобно ввести также SU(4)Х ^(1) -компоненты для SO(8)-вектора х‘:
В теории открытых струн в качестве поля можно взять скалярное поле ФаЬ [х (ст), 0 (сг), 0 (ст)], а в теории замкнутых струн — поле Ч'1 [х (ст), 0 (ст) 0 (сг)].
Граничные условия на координаты приводят к различным случаям полей. Кроме того, поля в рассматриваемых случаях ¦открытых струн и струн типа Па также являются приводимыми, и, следовательно необходимо наложить на них “условия вещественности”, аналогичные соотношению (7.9). Струны типа I должны также удовлетворять условию неориентируемости:
ФаЬ [х (о), 0 (ст), 0 (ст)] = — Ф6а [х (я — ст), 0 (я — ст), 0 (я — а)], (7.36) W [х (ст), 0 (ст), 0 (ст)] = ? [х (- ст), 0 (- ст), 0 (- о)]. (7.37)
