Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Свойство циклической симметрии амплитуды есть не что иное, как свойство дуальности, которое положено в основу дуальных моделей. Из этого свойства следует, что амплитуда имеет полюсы не только в тех каналах, которые показаны на рис. 6.2, но также и во многих других, а именно во всех каналах с импульсами (&; + &;+! + ... + ki+n)2 = —2М, где n^Nr .М —целое число и М ^—1. Это значительно уменьшает количество слагаемых, необходимых для получения полной ампли-
Операторный формализм
63
У-
Рис. 6.3. Факторизованная амплитуда струны.
туды. Чтобы построить полную амплитуду, нужно лишь взять сумму по всем циклически неэквивалентным перестановкам. Именно это делает операторный формализм столь полезным в теории струн. Амплитуда (6.16) содержит всю информацию
о вершинах для других физических состояний. Благодаря свойству дуальности амплитуда может быть факторизована, как показано на рис. 6.3. Если принять, что (&,- -+- &;+i)2 = —2М, то вычет дает выражение для амплитуды, у которой одна внешняя частица имеет квадрат массы, равный 2М. Выражение для такой амплитуды может быть также получено с помощью «возбужденного» вершинного оператора. Дальнейшую информацию об этом можно найти в работе [56].
Если мы вернемся к тому, с чего начали, и обратимся к рис. 6.2, то увидим, что до сих пор мы рассматривали только частицы, испущенные из точки сг = 0. Действительно, для древесных амплитуд этого вполне достаточно, так как имеется свойство дуальности. Но если включить в рассмотрение петлевые диаграммы, то мы должны допустить, что частицы испускаются и с другого конца струны из точки а = п. Такие диаграммы могут оказаться топологически неэквивалентными, поэтому они тоже должны учитываться. В нашем формализме легко построить вершину для испускания частицы из точки
о = л. По аналогии с выражением (6.8) определим ее как
V(k, т) = :eik'x (0=я>т): = (— 1)^ V (k, т)(-1)" (6.28)
где N — оператор числа частиц (2.57). Оператор 0 = (—l)w называется «оператором твиста».
С помощью таких вершин мы можем, например, рассматривать такие диаграммы, как изображенная на рис. 6.4.
Упорядочение переменных интегрирования устроено так, что переменные (времена), соответствующие частицам, испущенным из точки а = 0, и частицам, испущенным из точки а — я,
Рис. 6.4. Диаграмма струны, испускающей с обоих концов частицы.
64
Глава 6
упорядочиваются независимо друг от друга. Другими словами, один конец струны ничего не знает о том, что происходит на другом конце.
Все однопетлевые амплитуды были рассчитаны в операторном формализме. Чтобы их получить, по существу нужно взять следы от древесных амплитуд. Легко видеть, что такой простой процедуры на самом деле оказывается недостаточно. Дело в том, что в этом случае в вычетах появляются нефизические состояния. Чтобы устранить этот недостаток, надо вставить в амплитуду проектор на физические состояния. Явные вычисления приведены в работе [57]. Более современный метод состоит в использовании духов Фейнмана — Фаддеева — Попова [58]. Непосредственно видно, что это приводит к правильному результату [59].
При переходе к высшим петлям ситуация значительно усложняется, поскольку соответствующие диаграммы обязательно содержат вершинные операторы, в которых три струны находятся вне массовой поверхности. Но даже в этом случае были получены красивые результаты, основанные на топологии таких диаграмм, хотя и не все тонкости были доказаны. Дальнейшее обсуждение этих вопросов увлекло бы нас слишком далеко в сторону от основной темы этой главы, поэтому мы отсылаем читателя к литературе [60].
Операторный формализм для модели Рамона — Невё — Шварца строится совершенно аналогично процедуре в модели Венециано. Вершина излучения тахиона (в случае открытых струн) получается из рассмотрения струны, испускающей частицу с одного из концов. Здесь естественно использовать супер-полевую формулировку и рассмотреть вершинный оператор [39]:
V (k, 2, 9) = :ехр [ik ¦ ф (а = 0, 2 = eix, 0 = 0! = — 02)]:. (6.29)
При этом нужно выбрать подходящие граничные условия, соответствующие сектору Рамона или Невё — Шварца. Тогда мы можем построить VV-точечную амплитуду как корреляционную функцию таких вершинных операторов:
N
Ц dzt N
An = gN~2 J П dQi <° I V (*i. 0). . . К (kN, zN, 0„) 10). (6.30)
i = 1
В случае, если взят рамоновский сектор, вакуум является спинором {с равными нулю массой и импульсом). После интегрирования по 0, которое в действительности является тривиальным (и дает общий множитель (—)N/2), а также используя
Операторный формализм
65
уравнения движения для х^ и АД получаем следующие вершины, соответствующие секторам Невё — Шварца и Рамона:
Vns (k, z) = k ¦
V^(k, z) = k ¦ Т (2) \eik'Ql(z)\,
где
4- оо
H4z)= S bU~r,
r= — 00
