Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Легко написать выражение для действия поля Ф(х), описывающее произвольное число свободных распространяющихся частиц; добавление к такому действию лоренц-инвариантных полиномов по ф(х) приводит к появлению взаимодействий.
Построение полевой теории суперструн осуществляется аналогичным образом. Начнем с рассмотрения суперпуанкаре-ал-гебры (4.10) — (4.12) для случая суперструн типа 116. Мы должны переписать генераторы алгебры в терминах максимального набора коммутирующих координат. Для бозонных координат это легко проделать; мы можем взять просто х‘(о), х~, х+ в качестве такого набора, а импульсы представить в виде
pl (or) = — i Ъ* si — Ш, р+ = I —^ == гд_.
о* (а) дх
Что касается фермионных координат Sfa, то для них мы, не можем проделать то же самое, поскольку они не антиком-мутируют сами с собой в исходном представлении. Чтобы
68
Глава 7
преодолеть эту трудность, введем другие переменные:
9“=vik(s?+,'s“)' (7-2)
d° = (-S'* - iSl. (7.3)
удовлетворяющие следующим соотношениям:
{0а (а), Вь (а)} = {da (a), db (а')} = 0, (7.4)
{ба (а), db (с/)} = ЬаЬЬ (ст ' °')- (7.5)
Тогда в качестве координаты можно взять 0а(а), a da(o) представить в виде 6/60“(сг). Поскольку в определении 0а и da входит оператор р+, который имеет нетривиальные коммутационные соотношения с генераторами и /+~ то переписать алгебру в терминах 0° и da не так просто. Правильное новое представление задается выражениями [66,67]
р~ = h = ~2$~ § da dd' -----00г5_^
= ^ dah(a), p+=id_, pl = — i ^ dab1, jll = — i^da — x‘6l + у 0yl*d^ , j+i = -i J da(x+6i +лЛ?_),
j+~ = x+h - ix~d_ ~^\da [0“, da] + 2 i, (7.6)
j~l = — -j da [{x_ (a), 6!} — i {xl, h (a)} +
+ тк(1(у'еЛ - {w-t ~ ^"M-) It) -4 ?]¦
q*a = г V2 ^ daQad_, q^& = — do [(Y‘e)a — {yld)a y-] ,
q^a = У 2 ^ dada, q~a = — -^=- jj da [Vd)a — + (y!'0)a xl J .
Оператор x~(o), входящий в выражение для j~\ определяется формулой
Х~ (от) -----(х'г6г + Q'd). (7.7)
Полевая теория свободных суперструн 69
Соответствующее поле для данного представления имеет вид Ч*- [х+, хг, х‘ (а), 0а (а) ], где координаты являются с-числами. Оказывается, что это представление приводимое. Введем фурье-образ
W [х, X] = J ?)80 (ст) exp ( J doXaQa) ? [х, 0] (7.8)
и наложим ограничение
W [х, X] = W [х, 0]*, (7.9)
где комплексное сопряжение понимается в смысле 0* = (1/р+)Я. Условие (7.9) связывает 4я* и Ч1-, а это приводит к тому, что при варьировании полей в действии поле Ф* не должно варьироваться независимо от V. Кроме того, наложим условие, смысл которого заключается в том, что начало отсчета вдоль струны можно выбирать произвольно:
Ч[х(а + а0), 0 (ст + Сто)] = Ч[х (ст), 0 (ст)]. (7.10)
С точки зрения разложения по модам это условие означает, что N = N при действии на поле.
Следующий этап — вторичное квантование теории, которое осуществляется наложением канонических коммутационных соотношений на поле и его сопряженный импульс. В калибровке светового конуса в качестве импульса по существу можно взять само поле, точнее cLY. (Заметим, что <3_ — производная не по временной, а по пространственной координате.)
Введем обозначение для конфигурации (х~, х‘, ва) = 2 и потребуем выполнения условия
[cLYP,], Y[22]];c+_;c+ = -4a17[S1, 2У, (7.11)
1 — 2
где
д17[si> s2] =6Or -ч) S <Чд8[х\ (<*) - 4 (ff + О] х
хл8[е?(о)-е2а(ст + ст0)]. (7.12)
В коммутаторе (7.11) производная (5_ необходима для получения правильных свойств симметрии. Использовать пространственную производную поля в качестве импульса можно только в калибровке светового конуса.
Используя каноническое коммутационное соотношение (7.11), можно показать, что генераторы суперпуанкаре-алгебры представляются в виде
G = / J D2dJ? [S] gW [S], (7.13)
где g — генератор в представлении (7.6).
70
Глава 7
Зная гамильтониан р~, мы можем написать уравнение движения
5 = $ ?>2 dx'dJS (д+ + ih) Ч = J D2 Лс+д_'1Рд+'Чг + i J Я dx+.
(7.15)
Если проделать аналогичный анализ для соответствующей полевой теории точечных частиц, то можно видеть, что помимо того представления суперпуанкаре-алгебры, которое возникает из соответствующего струнного представления в пределе стягивания струны в точку, существует бесконечное число других представлений [67]. Эти представления можно интерпретировать следующим образом: они соответствуют различным членам в действии, которые содержат высшие производные П2, П3 и т. д. и являются возможными контрчленами к кинетическому действию. Такие контрчлены обязательно порождаются во взаимодействующей квантовой теории, если они не запрещаются какой-нибудь симметрией. Такой симметрии, по-видимому, не существует в квантовой теории поля. Этот факт является веским аргументом против квантовой теории поля. В противоположность этому в теории суперструн можно доказать, что представление (7.13) единственно, и любые возможные контрчлены к кинетическому действию запрещены [67].
