Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Инвариантность относительно преобразований Мёбиуса позволяет преобразовать три переменные z-t так, чтобы они совпали с тремя фиксированными числами, поэтому интегрирование по этим трем переменным является лишним. Чтобы в амплитуде не было трех выделенных частиц, мы должны выполнить деление на инвариантную меру (меру Хаара). Это достигается, если переписать амплитуду в виде
N
= П-Г2гИ°17<*ь 2‘) У{-к"’ 2")1°>’ (6Л6)
i=i 1
где
dV-
dza dzb dzo
(Za ~ Zb) (Zb - Zc) (zc
в последнем выражении za, гь, zc — любые три точки из набора Zi.
Амплитуда (6.16) в действительности допускает более общие преобразования, а именно преобразования (6.15) без требования вещественности параметров а, Ь, с и d. Тогда мы можем деформировать вещественную ось в кривую на комплексной плоскости. Возьмем преобразование в виде
г — i
/2 + 1
(6.17)
тогда вещественная ось отобразится в единичную окружность. Если в амплитуду (6.14) подставить меру Хаара, в которой точки z принадлежат единичной окружности, мы получим известную формулу Коба — Нильсена для амплитуды рассеяния N частиц [54]. Из выражения (6.14) легко видеть, что амплитуда имеет правильную структуру полюсов- Остается доказать,
Операторный формализм 61
что в вычетах взаимодействуют только физические состояния. Чтобы доказать это утверждение, и был развит первоначально операторный формализм. Поэтому вернемся к выражению (6.8). Явные вычисления приводят к формуле
[Ln, V(k, z)] = zn(z-^ + n^)V{k, z). (6.18)
Если оператор преобразуется по такому правилу, то говорят,
что он имеет конформный спин k2/2. В частности, мы получаем
[L0,V(k,z)\ = z^V(k, г), (6.19)
что равносильно выражению
V (k, 2) = zL°V (k, 1) 2~Ч (6.20)
Рассмотрим теперь амплитуду (6.16) с фиксированной группой Мёбиуса Z\ = оо, 22 — 1, Zm = 0:
An = $ П ^ <° I V • • • V ^-Ь %-.) I 0) eikK-x=~
i=3 ‘
= eikl'x(0 | V (k2, \)-rL-TV{h, 1) ••• 1^-TV(kN_u 1)|
(6.21)
При выводе последнего выражения мы воспользовались равенством (6.20), перешли к переменным Чана [55]
Di — Zlfei-X (6.22)
и проинтегрировали по этим переменным. Мы снова явно видим структуру полюсов. Остается доказать, что в вычетах появляются только состояния, удовлетворяющие условиям Вирасоро (6.13). Для этой дели воспользуемся соотношениями
[Ln-L0, V(k)] = ^k2V(k), где V(k)^V(k, 1), (6.23)
(Ln — L0 + 1) ?o _ i = x0 + n — l — LQ-\- I — n), (6.24)
где первое условие является следствием формулы (6.18), а второе следует из алгебры Вирасоро. Комбинируя их, получаем
(Ln -Lo+l) V (k) = To+~l V (k) (Ln - L0 + 1). (6.25)
Следовательно, оператор (L„ — Lo+l) эффективно коммутирует со всей цепочкой пропагаторов и вершин в амплитуде, поэтому его можно протащить вправо и он будет действовать
62
Глава 6
непосредственно на “вакуум” |0>exp (ikN-x), а это дает нуль. Последнее означает, что в вычетах взаимодействуют только физические состояния, и мы доказали, что амплитуда имеет правильную структуру полюсов. Заметим, что все время неявно предполагалось, что испущенные частицы находятся на массовой поверхности. Поэтому рассмотренные амплитуды можно использовать только в качестве элементов S-матриц. Проблема нахождения правильных амплитуд вне массовой поверхности представляет собой очень трудную задачу для дуальных моделей. Одно из решений этой задачи будет найдено в полевой теории струн.
Замечательное свойство амплитуды (6.16) состоит в том, что она обладает циклической симметрией по внешним состояниям. Например, если взять последний вершинный оператор, то мы можем, коммутируя его с другими вершинными операторами нужное число раз, поставить его после всех остальных вершинных операторов. Явные вычисления дают
V (klt zj) V (k2, z2) = V (k2, z2) V (ku z,)exp[infe! • k2z{zx — z2)]. (6.26)
Отсюда видно, что процесс коммутирования V(kN,Zn) со всеми остальными вершинными операторами в конечном счете приводит к появлению фазового множителя. Если учесть закон сохранения импульса (а также условия массовой поверхности), то оказывается, что этот фазовый множитель равен единице. Следовательно, мы получаем
N d
4v=g-V-2$n••• V^-u z*-i)l°>-
г (6.27)
Правило коммутирования (6.26) математически плохо определено, но правильность выражения (6.27) легко установить на основе формулы (6.14), если считать, что z-t в (6.14) лежат на единичной окружности. Математическая строгость достигается, если в коммутаторе считать, что импульсы лежат на решетке; такое рассмотрение проведено для случая гетеротической струны в гл. 5.
