Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, мы выбираем решение уравнений движения для х1 в виде
х1 (т + ст) = х1 + р1 (т + ст) + Y Y* ~пГ е~21п(х+аК (5.8)
п Ф 0
Но это решение не удовлетворяет периодическим граничным условиям по ст! Для решения этой проблемы мы вынуждены допустить более общие граничные условия. Пусть координаты х1 лежат на гиперторе с радиусами R; тогда функция хг(о, т) отображает окружность 0 ^ л на окружность 0 ^ х1 ^ 2nR. Такие отображения делятся на гомотопические классы, которые характеризуются степенью отображения U, показывающей, сколько раз х' пробегает по окружности [48]. Тогда выражение (5.8) допускается в качестве решения, если р' = 2L’R. Следовательно, мы вынуждены считать, что 16 координат х1 лежат на гиперторе. Это очень привлекательно с физической точки зрения, так как размеры гипертора могут быть достаточно малыми, чтобы не нужно было думать о координатах х! в макроскопическом масштабе.
Прежде чем детально осуществлять такую компактифика-цию, рассмотрим ее влияние на выражения (5.4) и (5.5). Если подставить в выражения (5.4) и (5.5) решения для х‘, Sa и х',
то по аналогии с (2.57) и (2.58) мы получим (а'=1/2)
16
]-m2 = N + N- 1 +4XV)2’ (5-9)
i=i
а также
16
N = N-1 +1?(р')2, (5.10)
/=1
где
ОО
N=Z (a+ я5-Х>, (5.11)
П = 1 ОО
N = J] (SLА + а_Х)- (5-12)
В выражениях (5.9) и (5.10) вклад (—1) появился вследствие
регуляризации вакуумных флуктуаций. Хотя этот вклад и не
сокращается, замечательно, что в теории нет тахиона. Это следует уже из того, что вакуумный вклад сокращается в правом
Гетеротическая струна
51
секторе. Кроме того, из выражения (5.10) видно, что (р')2 должно быть четным целым числом.
При дальнейшем рассмотрении 16-мерный гипертор, которому принадлежат координаты х‘, может быть представлен как пространство R16, факторизованное по решетке Г16, задаваемой 16 независимыми базисными векторами е\(1=\, ..., 16). Мы выбираем четную решетку (объяснение этого выбора дано ниже) с одинаковой длиной всех е,-, равной -\/2:
16
х' = хг + У2л ? (5.13)
i = 1
где m — целые числа, a Ri— радиусы гипертора.
Для гипертора jR16/T16 допустимые значения импульса р1 лежат на дуальной решетке Г16, задаваемой векторами е*/, удовлетворяющими условию
16
? = бг/. (5.14)
Из соотношений (5.2) видно, что оператор 2р! генерирует трансляции, т. е.
1 16
"'=7гЕтг;'' <5Л5)
у 1 = 1 ‘
где mi — целые числа. Но мы только что видели, что р' = V, где L1 — степень отображения, и
16
(5-16)
* i = i
Отсюда мы заключаем, что допускаются только состояния с импульсами, лежащими на пересечении решеток Г16 и Г16. Более того, вводя снова наклон траектории Редже а' и сравнивая выражения (5.15) и (5.16), мы получаем
Ri-л/а'. (5.17)
Это означает, что внутренние координаты имеют малые размеры. (Параметр а' до сих пор был произвольным, и мы
надеемся, что численное значение его в конечном счете будет
фиксировано теорией. Это значение, несомненно, будет малым, скажем д/а'<10~17 м, так как мы не наблюдали в эксперименте ни одной дочерней траектории Редже, т. е. состояний с W = 1 и выше.) Окончательно получаем, так как Г < Г и Г
52
Глава 5
четное, то Г тоже четное, поэтому (р1)2 принимает четные целые значения.
Дальнейшие ограничения возникают при исследовании взаимодействий. Двумерная (евклидова) мировая поверхность, которая соответствует однопетлевой амплитуде в теории замкнутых струн, является тором. Этот тор должен быть симметричным относительно перестановки ст и г, так как репараметризацион-ная инвариантность по-прежнему существует в теории (свойство дуальности). Чтобы такая симметрия имела место, решетка должна быть самодуальной, Г —Г.
Четных самодуальных решеток насчитывается совсем немного. Фактически они существуют только в 8п измерениях. В основополагающей работе Годдарда и Олива [49] было показано, что в 16 измерениях существуют только две такие решетки TsXTe и Г16, которые, как они предположили, должны иметь важное значение в физике. Решетка Г8 является корневой для Ев. Построение решетки Г^ более сложно. Базисные векторы для SO (32)-корневой решетки могут быть выписаны в терминах набора ортогональных векторов {ы,-}, i= 1, ..., 16, посредством равенств е,-= и,— и,-+1, г = 1, ..., 15, и е\& =
