Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Суперструны
47
Учет ориентации струн важен при вычислениях по теории возмущений. Для ориентируемых струн взаимодействие должно быть таким, чтобы ориентация сохранялась. Это приводит к тому, что ряды теории возмущений в случае суперструн типа I и типа II будут различными.
До сих пор мы обсуждали суперструны в калибровке светового конуса. Этого вполне достаточно для понимания структуры теории и для построения теории взаимодействия. Но было бы полезно также иметь ковариантный формализм. Действие в таком формализме было найдено Грином и Шварцем [45], но до сих пор остается неясным вопрос, можно ли квантовать ковариантно это действие [46] ').
’) См. предисловие к русскому изданию. — Прим. ред.
Глава 5 Гетеротическая струна
В предыдущей главе мы видели, что существуют различные типы суперпуанкаре-алгебр, соответствующие различным типам суперструн, и генераторы алгебр в каждом частном случае могут быть получены из наиболее общего набора генераторов (4.10) — (4.12). Самый простой случай пуанкаре-алгебры получается, если для замкнутой бозонной струны провести разложение х^ (т, а) = (х— а) + ^й(т + сг) и аналогично для рТогда в алгебре Пуанкаре появятся две подалгебры, одна из которых состоит только из правобегущих полей х^(х— а) и р^(х — а), a другая — только из левобегущих полей х^(т + а), р^(т + а). Важно отметить, что эти две подалгебры являются совершенно независимыми, поэтому одну из подалгебр можно приравнять нулю. То же самое имеет место и в случае суперструны, когда алгебра задается полным набором генераторов (4.10) — (4.12). А именно нетрудно видеть, что в выражениях, содержащих произведение SA на х и р, S1 умножается только на правобегущие поля, a S2 —только на левобегущие. Кроме того, S1 и S2 сами являются правобегущими и левобегущими соответственно, поэтому и в случае суперструны можно проделать непротиворечивое усечение алгебры, например, полагая все левобегущие переменные равными нулю. Такое усечение приведет к алгебре с N = 1-суперсимметрией.
Случай гетеротической струны [30] возникает, если к генераторам алгебры правого сектора 10-мерной суперструны, полученным методом усечения, добавить генераторы алгебры левого сектора 26-мерной бозонной струны. Видно, что размерности правого и левого секторов гетеротической струны явно не совпадают. Проблема разрешается, если считать, что к 10 пространственно-временным координатам суперструны х^{х — о) добавляются только 10 координат бозонной струны х^(х +сг), образующих SO (1,9)-подалгебру полной алгебры бозонной струны. Тогда остальные координаты бозонной струны х!(х, а),
I— 1,2, ..., 16, требуют иной интерпретации, нежели координаты пространства-времени. В конечном счете нужно также понять, что стало с симметрией SO (16).
Гетеротическая струна 49
Проверим теперь замкнутость алгебры. Рассмотрим алгебру бозонной струны. Для левого сектора имеем
Л
Р~ = 4^+ J da {яр1 + х1')2. (5.1)
о
Комбинация яр7 + х'1 является левобегущей. Если потребовать, чтобы р! и х1 были левобегущими по отдельности, то из разложения по модам мы видим, что р1 совпадает с хп (с точностью до я). Следовательно, мы должны заменить канонические коммутационные соотношения на
[х1 (о, г), р1 (o', т)] = 6 (or — а') 67/ (5.2)
и потребовать выполнения условия
[х1 (а, т), х1 (а', т)] = — у л 6 (а — а') Ьи, (5.3)
где
-р6(ог — а') = е(а — а').
°а
Это изменение не нарушит замкнутости остальной алгебры. Следовательно, в полной алгебре гетеротической струны имеем
Р~ = ~2^+ !i da [Лlpl2 + + 2пР Х'Г\’ (5-4)
о
и условие на х-(0) имеет вид
Р1х'1 + ^ рх", (5.5)
где S = SK Остальные генераторы N = 1-суперпуанкаре-алгеб-ры даются формулами (4.10) — (4.12) при S2 = 0.
Действие, соответствующее гамильтониану (5.4), имеет вид
Я
^ = — y J da ^ dx [if3 {дах1д^х1 + дахд^х1) + iSa Sa]
(5.6)
вместе с условиями связи
ф'=(^-ткг)^=°- <5-7>
Вместо этого можно добавить член Х[(д/дх — д/да)х‘]2 к действию. Как показал Зигель [47], результирующее действие обладает локальной калибровочной симметрией, которая позволяет откалибровать лагранжев множитель X, в результате чего снова появляются условия связи (5.7).
50
Глава 5
Каноническая структура действия может быть проанализирована с помощью метода Дирака. Если учесть, что условия
(5.7) являются связями второго класса, то каноническими коммутационными соотношениями являются (2.44), (4.5) и (5.2).
