Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
10.4. Пример. Предположим, что KerD/(0) и Coker Df(0) имеют размерность 2. Тогда размерность F
10. КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
равна 3, и базисом в этом пространстве служит {х2, 2хи, у2}, где х, у — координаты в Кет Df (0). Форма ах2 + 2Ъху + су2 соответствует точке (а, Ь, с) е F и как отображение пространства Ker.D/(0) в сопряженное пространство имеет матрицу
ч: :)¦
Матрица Л = 0 соответствует нулевой квадратичной форме. Если А ф 0, то матрица А, для которой
ас — Ьг = 0, соответствует форме ранга I. Такие квад-
ратичные формы имеют нормальный вид ±х*. Если de^^O, то формы имеют нормальный вид х2 ± у2 и — (х? + у2).
Множество {det А — 0} — конус в F. Верши-
на конуса — это нулевая форма. Точки, лежащие на поверхности конуса, — параболические формы. Области, помеченные знаками + +,---------,
— эллиптические формы. Область, помеченная знаком ±, —гиперболические формы.
Тип квадратичной формы с точностью до изоморфизма определяется ее положением по отношению к этому конусу.
Если Lf C-+F — пучок квадратичных форм, то для размерности пространства Lf(C) и его положения в F имеется семь различных возможностей:
1) плоскость вне конуса;
2) плоскость, пересекающая конус;
3) плоскость, касающаяся конуса;
4) прямая внутри конуса;
5) прямая вне конуса;
6) прямая, касающаяся конуса;
7) вершина конуса.
10. квадратичный дифференциал
111
Предположим, что два дифференцируемых ростка имеют пучки квадратичных форм, для которых положен ния пространства Lf(C) различны в смысле проведенной классификации. Тогда такие ростки не могут быть эквивалентными, поскольку преобразования координат в прообразе и образе приводят к замене координат для пучка Lf, а такая замена не может изменить положение Lf(C) относительно конуса {det у! = 0}. Именно таким образом пучок квадратичных форм порождает алгебраический инвариант ростка (относительно дифференцируемой эквивалентности).
10.5. Рассмотрим более общук* ситуацию. Пусть F{к) — векторное пространство квадратичных форм на R* и Н (с, к) = LA (Re, F(k)) — векторное пространство с-мерных пучков квадратичных форм на R*.
Для того чтобы найти инварианты элементов Н (с, к), мы должны исследовать действие общих линейных групп (линейных замен координат в Rc и R*) на такие пучки квадратичных форм. Группа GL{c, R)XGL{k, R) координатных преобразований в Re и R* действует на Н {с, k) по формуле
8с X gk (Lc (t»c) Ы) = L(g~c vc) (Si1 vk).
Например, мы только что убедились в том, что Я (2, 2) имеет размерность 6 (поскольку dim 5(2) —3) и разбивается на 7 орбит относительно действия группы GL(2, R) X GL{2, R). Орбита —это класс эквивалентности относительно действия группы. Ясно, кроме того, что dim (GL (2, R) X GL (2, R)) = 8.
В определении 10.3 мы сопоставили каждому ростку f: {Mm, x)-*-{Nn, у) пучок квадратичных форм Le еLA{C,F), используя квадратичный дифференциал iо. Выбрав координаты на С и F, мы получим однозначно определенный элемент пространства Н(с, к). Если мы выберем на С и F ;:овые координаты, то придем к новому элементу пространства Н(с, к), который получается из исходного действием некоторого элемента группы GL(c, R)XG?(A, R). Следовательно, орбита пучка L в Н (с, к) — это корректно определен-
112
10. КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ный инвариант ростка f (относительно дифференцируемой эквивалентности). Эти рассмотрения приводят к следующему результату.
10.6. Теорема (Р. Том). Множество устойчивых диф-
2 2
ференцируемых отображений Мп -*¦ Nn не плотно в множестве всех дифференцируемых отображений при л^гЗ.
Доказательство. Размерность группы GL(n, R)X XGL(n, R) равна 2л2. Размерность F(n) совпадает с размерностью пространства симметрических («Хл)'
матриц, т. е. равна -^-«(/z-f 1). Следовательно,
dim (Н (п, л)) = -^-п2(л-f 1). При гС&Ъ имеем -?-(л + 1)^ 1^2, следовательно,
dim (GL (п, R) X 3L (п, R)) ^ dim (Н (п, п)).
Равенство достигается только в случае л = 3, однако в этом случае существует однопараметрическая группа пар (а, а~‘) скалярных матриц,- которая действует на пучки тождественно. Отсюда выводим, что при п^З размерность любой орбиты действия группы GL{n, R) X GL(n, R) на Н(п,п) меньше размерности И(п,п), т. е. коразмерность любой орбиты ^1.
Теперь рассмотрим отображение /: ЛР1?-»-ЛГ',2> имеющее особенность типа в точке 0 еЛ1 (это означает, что 0 e2'*(f)). Предположим также, что после введения локальных евклидовых координат дифференциал f определяет отображение, трансверсальное к LA (л2, л2; п2 — п) в некоторой окрестности точки Cl-
Эти два условия, наложенные на /, относятся к первым и вторым производным. Поэтому можно найти удовлетворяющие им многочлены второго порядка. Как и в доказательстве теоремы Тома в гл. 9, мы знаем, что локально, после выбора системы координат, выполняется равенство 2n(f) — Df~] (LA (п2, л2; л2 — л)). По лемме 9.3, codim LA (л2, л2; л2 — л) = л2, и, следовательно, из трансверсальности f вытекав?., что dim Г(/) = 0.
