Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
границы:
</>=</>, • exp [-(I2 -kj)1/2z]. (4.14)
Коэффициенты отражения и трансформации для этого случая с использованием
формул (4.7) и (4.8) можно представить в виде
у tt = -e~'S, Vtt = 2/Зт[т4 +/3 2(|2 -fc?)]-1/2e-''6/2,
(4-15)
fg - = Ру~2(? - *д)1/2-
Поскольку | Vttl = 1, то отражение полное. Этот случай аналогичен полному
отражению звуковых волн, рассмотренному в § 2, с той лишь разницей, что
теперь падающей является поперечная волна, а продольная волна
соответствует преломленной звуковой волне. Здесь мы снова, как и в случае
звуковых волн, встречаемся с общей закономерностью: если на границе
задана периодичность процесса в виде exp (i?x), то прн ? > к
(пространственный период 2л7? меньше длины волны X) в полупространстве к
этой периодичности будут ''припасовываться" экспоненциально затухающие
(неоднородные) волны.
Коэффициенты отражения и трансформации можно выразить через углы 0; и 0,,
образуемые нормалями к фронтам продольной и поперечной волн с осью 2. Прн
этом
% = fc/sin0; = kt sin6t, a = A;/cos0/,
(4.16)
/3 = kt cos 0f, у = -kt cos 20f/2 sin Bt.
?1
Подставляя эти выражения в (4.7), получаем, в частности,
Vtt = Vtt = (kt cos вi tg2 2(0, - kt cos 0,)/(?, cos 0/ tg2 261 + kt cos
0,).
(4.17)
Для углов обмена поляризацией 0,о и 0,о (когда Vlt = F,, = 0) имеем
уравнение
ki cos 0/о tg2 20/о = cos <0fO. (4-18)
При этом 0/o и 0,о предполагаются связанными первым из соотношений
(4.16).
На рис. 4.1 коэффициент Vц изображен по Аренбергу (см. работу [285], из
которой заимствованы также и последующие два рисунка), как функция угла
падения продольной волны 0/ для разных значений коэффициента Пуассона о.
Последний, как извешно (см. [167, 54]), связан с постоянными Ламе X и /Д,
а также с отношением скоростей воли с,/с, формулой
с)/с\f = д/(Х + 2д) = (1 - 2а)/2(1 - а). (4.19)
При о -*• 0,5 мы переходим к случаю жидкости, коэффициент отражения от
свободной границы которой при всех углах падения равен -1 (формула
(2.26) при т = 0), что мы и видим на рис. 4.1. При о < 0,26 каждая
кривая дважды пересекает линию ?ц = 0. Значения угла 0/о для точек
пересечения могут быть получены из: уравнения (4.18).
На рис. 4.2 коэффициенты отражения поперечных волн Vtt (равный, согласно
(4.8), FH) изображен как функция угла падения поперечной
Рис. 4.1. Зависимость коэффициента отражения продольных волн на свободной
границе твердого тела от угла падения для различных значений коэффициента
Пуассоиа (его значения указаны около соответствующих кривых)
92
О 10 20 30 40 вt,град
Рис. 4.2. Зависимость коэффициента отражения поперечных волн на свободной
границе твердого тела от угла падения для различных значений коэффициента
Пуассона
волны 0f. В сущности, это те же графики, что и на рис. 4.1, только по оси
абсцисс отложено 0f, связанной с 0/ первым из соотношений (4.16). При sin
Qt > ct/cl = ktlkt из (4.16) получаем ? > kh т.е. случай полного
отражения. Поскольку, согласно (1.59), ct/cl < 2~1!2, то при 0, > я/4
будет иметь место полное отражение при всех возможных значениях о (О < о
< 1/2). На рис. 4.3 изображены характерные углы для рассматриваемого
здесь случая при различных значениях о: углы обмена поляризациями при
падении продольной и поперечной волн и граничный угол полного отражения
поперечных волн.
Рис. 4.3. Характерные углы при отражении сдвиговых волн от свободной
поверхности упругого полупространства: 1 - углы
обмена поляризациями; 2 - граничный угол полного отражения сдвиговых волн
93
Выше была получена матрица рассеяния для потенциалов у и ф. Однако в
эксперименте измеряются не потенциалы, а смещения и или скорости v = -
/сои. В плоской продольной волне у - 9i exp [/(az + %х - wf)] амплитуда
смещения (согласно (4.2)) равна щ = кцр t. Аналогично для поперечной
волны имеем ut - к(ф1. Поэтому матрица рассеяния для смещений или
скоростей частиц имеет вид
S =
/ У и к jVи/к Л
\ktVlt/k, V" )'
(4.20)
Другими словами, V ц и Vtt являются коэффициентами отражения не только
для потенциалов, но и для скоростей и смещений. Числовые же значения
коэффициентов трансформации при переходе от потенциалов /с другим
характеристикам волны меняются. Отметим, что для матрицы S (4.20) по-
прежнему справедливо соотношение (4.10).
4.2. Отражение от границы упругих полупространств. В отличие от
предыдущего раздела будем считать, что полупространство z < 0 занято не
вакуумом, а упругой средой, которую будем характеризовать величинами с
индексом 1: сд, cfl, pi и т.д. В верхней среде потенциалы упругих волн
имеют прежний вид (см. (4.1)). В нижней среде аналогично получаем
-''^г + ф2 е''^г.
<P - <Pi e 1 + &e 1 ,
(4.21)
Принятые обозначения поясняет рис. 4.4. Из принципа суперпозиции следует,
что амплитуды 9 1, t^i, ipi и ^ волн, убегающих от границы, линейно
связаны с амплитудами падающих на границу волн:
9\\ /91
ф\ и Фг
91 9г
! \^2
5 =
V,, Vtt Щ, Wti
Vtt Vtt w,t wtt
w" Wt, Vtt hi
w,t Kt v,t Vtt
(4.22)
Вместе с увеличением числа типов волн в задаче возрос и ранг матрицы
