Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
первых элементов векторов в левой и правой частях (4.78), выражающее
непрерывность х-компоненты смещения, поскольку это условие может
нарушаться на границе жидкости и твердого тела. Отношение
103
q = Wf/Wj найдем, приравняв значения четвертых элементов в (4.78):
Ащ- ctg 0/ • Л42+ ipxkncos 20t- sin-1 в,- Л43- 2 j sin 0fctg 0/-Л44
q =------ -------------------------------------------------------- -
•
-ctg 0t • A4i- A42 + 2ipxktl cos 6t ¦ A43+ ipxktx cos 2Bt • sin-10f • A44
(4.79)
Далее, используя вторую и третью компоненты векторного равенства (4.78),
находим Wf.
Wt = -2pco2ctg в {(pcoMji + J0b43i) (1 + <7 ctg 0f) -
- (рсо2Д22 + i<*A32) (ctg 0, - q) + Piktx sin_10f cos 20f [(ipoj2i423 --
аЛ33)(1-<? tg20,)- (грсо2Д24-а^з4)(<?+ 2sin20f- ctg 0;/cos 20,)])"1.
(4.80)
Теперь уже легко определить коэффициент отражения. Мы выразим его через
входной импеданс системы твердых слоев Zin:
V = (Zin-Z)/(Zln +Z), (4.81)
Zin = 0'o33/cj"3)z=Zn, Z = рс/cos0. (4.82)
Здесь Z - импеданс жидкого полупространства. Для входного импеданса
системы слоев из (4.78)-(4.80) находим
Zjn = -E3l(i(j)E2\
, , (4.83)
Ej - а,Л^2 - too p!(cos 20,• М;-3 + 2sin 0, • ctg 0г • Л/;-4)-
- <? [%Mj2 + icj2p,(sin 2BtMj3 - cos 20fM;-4)], / = 2, 3.
Здесь
ЛГ,-* = Ajx - AjiAqiJAqi, j = 2,3, fc = 2,3,4. (4.84)
Формулы (4.79)-(4.83) полностью решают задачу об отражении звуковой волны
от системы произвольного числа упругих слоев. Заметим, что задача об
отражении плоской волны, падающей из упругого полупространства на систему
слоев, решается совершенно аналогично [323]. Л
В этом случае нам необходимо определить матрицу рассеяния S, связывающую
амплитуды волн, падающих на границы z=z"hz=z, системы слоев из
бесконечности, с амплитудами волн, уходящих на бесконечность:
(^п + 1\ф(Г1\^\ф^)Т = 5(1р(" + 1>,^(" + 1>,/11>, ф['У. (4.85)
Матричную связь рассматриваемых амплитуд можно получить, выражая векторы
потенциалов через векторы смещения-напряжения при помощи формулы (4.66) :
• (^" + 1),^" + 1),Ф{1"+1),^(2"+1))Г = С{^\^\ф\1\ф^)Г, (4.86)
где
С = L-\zn)A{zn,zl)L{zl) (4.87)
- известная матрица. Перегруппируем члены в четырех линейных уравнениях,
даваемых соотношением (4.86), так, чтобы в левой части находились
величинц + у"*1* и ф*1*, а в правой - + ф2("+1*,
104
(ср. (4.27)):
Nt (*<я+1\ ф<?+1К<р[1), = ?2(*<"+1), ^(11))г, (4.88)
где
-I 0 Cl2 Cl4
0 0 сгг а24
0 -1 Сг% ^34
ч 0 0 С*2 С44.
( 0 0 С11 С1 з'
-1 0 С2 1 ^2 3
0 0 С31 С33
\о -1 с* 1 с4 3
N, =-1 . , N2 =
(4.89)
Л
Из соотношений (4.85) и (4.88) находим матрицу рассеяния S:
S =jVr'A^. (4.90)
В специальном случае, рассмотренном в работе [525], когда и верхнее, и
нижнее полупространства являются жидкостями, мы имеем q = Wt/Wi = = 0, dt
= 0 и, воспользовавшись обозначением Z, = copj/a, = рхСц /cos 0/, из
(4.83) получаем сравнительно простую формулу:
^in = t(M32 ~ i<-dZxM33)/[to(M22 - /coZiM2 3)]. (4.91)
Выпишем также соответствующие выражения для коэффициентов отражения и
прозрачности:
^ = [4^32 - IO3Z1M33 +(4^22 - iCjZ,M2 3)iC0Z]X
Х[М32 - (<oZiM33 - (М22 - icjZxM2 3)ia.'Z]-1, (492)
IV = - lio&iPPi1 l[M32 -iojZxM33 - (M2 2 - icoZxM2 3)iojZ]. (4.93)
Важный частный случай пластинки (т.е. однородного упругого слоя) в
жидкости детально рассмотрен в монографиях [52, § 9-11; .54, гл. 5; 106,
гл. 4].
Отражение от дискретно-слоистой среды в случае, когда часть слоев
является жидкими, может быть проанализировано на основе полученных выше
формул предельным переходом р/ ->0 для соответствующих /. Особенностью
перехода к случаю жидкости является то, что не все компоненты матрицы
(4.70) стремятся при р/ -+ 0 к определенному значению.
Элементы ах, = а44, а13 = а24 и а14 сохраняют зависимость от Q, а пределы
sin Q и cos Q при kt -*• 00 не существуют. Однако в конечных выражениях
(4.79)-(4.83) для коэффициентов отражения и прозрачности члены,
содержащие Q, взаимно уничтожаются и переход к пределу осуществляется
беспрепятственно.
Если взять частный случай одного жидкого слоя толщиной d, заключенного
между двумя жидкими полупространствами, то формула (4.91) должна
совпадать с (2.47). Действительно, в этом случае, учитывая, что для
жидкого слоя ct =0, 6t = 0, получаем
М32 = А3 2 = -сор2с/2 sin P/cos вь Р = kl2d cos0;, (4.94)
М33 = А33 = М22 = ^422 = cosР, М23 = А23 = cos0; • sinF/(cop2&;2).
105
В обозначениях § 2 имеем p2c!2lcos 9t = Z2, ? = <р, при этом подстановка
выражений (4.94) в (4.91) сразу приводит к (2.47).
Приведем некоторые результаты расчета значений | V | для конкретных
случаев, а также сопоставление их с экспериментом. На рис. 4.6,
заимствованном из работы [360], представлена зависимость модуля
коэффициента отражения звуковой волны от ее частоты / при нормальном
падении на трехслойную конструкцию, помещенную в воду. Конструкция
состояла из двух одинаковых слоев пластмассы с параметрами с\ = = 2100
м/с, р = 1,08 г/см3, d2 = d4 = 0,254 см, щель между которыми толщиной d3
= 0,706 см была заполнена водой (с = 1500 м/с, р= 1 г/см3). Сплошной
