Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
изменению скорости звука на границе z = 0. Так, вместо второго из
соотношений в (3.142) можно брать
z(r?) = -Zi - i?th2a \а~х th2a [cth(ar? + a) - ctha], zx>0. (3.1426)
В последние гбды получили развитие аналитические методы решения
одномерной обратной задачи для уравнения Гельмгольца, т.е. восстановления
профиля k(z) по коэффициенту отражения или другим характеристикам поля
[122, 177]. В этих случаях, когда удается получить решения для k(z) в
замкнутом виде, этот метод обратной задачи в теории рассеяния дает новые
''решаемые" профили (см. [277, 408, 487]). Хотя большинство результатов
сформулировано для уравнения Шредингера, они легко переносятся на
уравнение Гельмгольца. Следует отметить также интересные обобщения
профиля Эпштейна, предложенные Рауэром [484] и допускающие точные решения
при нормальном падении волны.
Точные решения для звукового поля в непрерывно-слоистой среде весьма
общего вида удается получить, разбивая ее на слои, где профиль волнового
числа подчиняется одному из указанных в предыдущих пунктах законов или
считается постоянным. Этот прием используется многими авторами.
Встречаются сочетания слоев с k(z) разного вида или, чаще, с разными
значениями параметров Таким путем можно достичь удовлетворительной
аппроксимации практически любого реального профиля k(z), однако, вообще
говоря, нельзя построить бесконечно-дифференцируемый профиль. Кроме того,
при большом числе слоев результаты становятся громоздкими и пригодны лишь
для вычислений на ЭВМ.
Для случая нормального падения звуковой волны одна интересная задача с
''составной" слоистой средой была решена еще Рэлеем [242, § 148в]. Рэлей
рассмотрел отражение от слоя -L < z < 0 с линейной зависимостью скорости
звука:
c(z) = ci(l - az), a = const. (3.143)
При z = 0 слой граничит с однородным полупространством, где скорорть
80
звука Cj, а при г = -L - с другим однородным полупространством, где с =
с2 = с( (1 + aL). Таким образом, скорость звука во всей среде изменяется
непрерывно; плотность предполагается постоянной. При нормальном падении
(? = 0) звуковое давление р(г) = Ф(г) в слое подчиняется уравнению
Ф"(г) + к}(1 +аг)~2Ф(г) = 0 (3.144)
Общее решение этого уравнения легко найти:
Ф(г) = А1(1-azf' +A2(l-ozf2, -L<z< 0, (3.145)
где
1 Г\ kj~ [\ к2
т1,2 ~ - ± V 7 - -Т , Imv 7 - > 0. (3.146)
2 4 а 4 а
В Полупространстве z < -L звуковое поле представляет собой уходящую от
границы плоскую волну. Следовательно,
Ф = Wexp(-iojz/c2), z^-L. (3.147)
Приравнивая импедансы волн (3.145) и (3.147) при г = -L, находим
отношение коэффициентов A j и А2:
17 '{т'--т)акт -т')' (ЗЛ48)
где
/ с2 \ т 1 - m 2
а=( - ) = exp 1 2х/ - - -г-In-^ Р. (3.149)
\с, / \ 4 a Ci /
Далее обычным образом по формуле (3.5) находим коэффициент отражения
плоской волны: ________
1 ikt а + 1 /\ ~к\ \
V= - - + г V- - -т . (3.150)
2 I а а - 1 4 а )
Если бы среда состояла из большего числа слоев, перед получением
коэффициента отражения пришлось бы соответствующее число раз, записывая
условие непрерывности импеданса, пересчитывать поле с нижней границы слоя
на верхнюю. Эта процедура вполне аналогична рассмотренной в н. 2.5 для
дискретно-слоистой среды.
3.7. Среды с непрерывио-слоистой стратификацией скорости звука,
плотности и скорости течения, допускающие точные решения. До сих пор в
этом параграфе мы рассматривали неподвижные среды с постоянной
плотностью. Теперь мы откажемся от этого ограничения и будем задавать
плотность функцией р = p(z) и скоростью течения функцией v0 = v0(z). Выше
была достаточно подробно проиллюстрирована схема нахождения коэффициента
отражения по известной фундаментальной системе решений дифференциального
уравнения, которому подчиняется вертикальная зависимость звукового поля.
Поэтому теперь для ''решаемых" профилей мы будем ограничиваться указанием
соответствующих линейно-независимых решений, не выписывая формулы для
коэффициентов отражения.
6. Л.М. Бреховских 81
Рассмотрим сначала случай неподвижной жидкости со стратификацией
плотности. Волновое уравнение, которому удовлетворяет звуковое поле в
неоднородной среде, удобно записать в виде (1.47) или в виде (1.48).
Тогда для вертикальной зависимости Ф(г) звукового давления имеем
обыкновенные дифференциальные уравнения:
Штрихами в уравнении (3.151) обозначены производные по z. Для сред с
плавной зависимостью параметров от z уравнения (3.151) и (3.152)
эквивалентны. В различных случаях мы будем использовать ту из форм
волнового уравнения, которая окажется удобней.
Выписанные выше уравнения (3.151) и (3.152), как и уравнение (3.3),
являются одномерными уравнениями Гельмгольца. Их точные решения можно
построить в терминах решений опорного уравнения (3.7), выбирая каким-либо
образом замену переменных т] = i?(z). Так, при произвольной стратификации
плотности решения уравнения (3.151) можно выразить через решения опорного
уравнения для сред с волновым числом вида
Это соотношение выводится вполне аналогично соотношению (3.11) из п. 3.1.
