Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
М (а через них - с параметрами гипергеометрического уравнения)
соотношениями
Таким образом, для слоистой среды с профилями волнового числа (3.166) и
плотности (3.165), в общей сложности характеризующимися шестью
произвольными постоянными, можно точно решить волновое уравнение в
терминах гипергеометрических функций. Отметим, что при М = М\ =0 профиль
(3.166) совпадает с ''решаемым" при р = const профилем (3.65).
Аналогично, можно предложить ряд стратификаций плотности, при которых
волновое уравнение можно решить точно для k(z), заданного по Эпштейну.
При выборе того же (гипергеометрического) опорного уравнения и той же
замены переменной т], которые привели к слою Эпштейна (3.54), соотношение
(3.160) дает
р/ро =- sh bf,
(3.162)
d^jdz = - sh bf,
(3.163)
из которого следует, что
th(bf/2) = exp [- b(z + z3)], z3 = const, p(z)/po = sh~'br(z +z3), b, =-
b.
(3.164)
(3.165)
k?(z)= k\ [1 +A^ish 2b,(z +z3)+MiCth bi(z +z3)],
(3.166)
k{ = k?0N + f, = kl/k\, Mt. = ftM/kt.
(3.167)
\Po/
(3.168)
84
Правая часть (3.168) приобретает произвольные аддитивную и
мультипликативную постоянные, если взять вертикальную зависимость
плотности в виде
Р/Ро = 1 + еа^. (3.169)
Восстанавливая при помощи (3.152) зависимость f от z, получаем
p(z) = p0[l +ea(z+2.)]-'( z, = const, (3.170)
**(*)-¦*?[ 1 -ЛГ,еа<2+2*>(1 +еа<2+2*>)-1-4Л/1еа<2+2*>(1 + ee<2+2i>)-2],
(3.171)
где
к\ = = (1 - AM) eolk\, = (1 - N) кЦАк2, (3.172)
а также zt, р0 иа - произвольные постоянные . Для слоистой среды,
заданной соотношениями (3.170) и (3.171), коэффициенты отражения и
прозрачности при падении плоской волны даются формулами, подробно
исследованными в п. 3.4. Нетрудно убедиться, что и при изменении
плотности по закону
p(z) = p0[l +еа(2+2.>] (3.173)
коэффициенты отражения и прозрачности для среды с к,2 (с), меняющимся по
Эпштейну, даются теми же формулами при надлежащем переобозначении
параметров.
Обратимся теперь к случаю движущейся слоистой среды. Для вертикальной
зависимости Ф(г) звукового давления из уравнения (1.41) получаем
(рр2 У
Ф ' + I*2/? -%г +(2р02)-1(р|32)"-3
(-)
VVP0 /
21 ф
- о - = °-
2Р/32 j VpP
(3.174)
Эффекты воздействия течений на звуковое поле описываются здесь величиной
Р~ 1 - {v0(z)/co. (3.175)
При нормальном падении ? = 0, и течение не сказывается на распространении
звука. Если зафиксировать значения горизонтального волнового вектора f Ф
0 и частоты волны со, то по крайней мере при /3 Ф 0 для любых
зависимостей v0 (z) и p(z) можно подобрать стратификацию скорости звука
таким образом, что уравнение (3.174) будет иметь решение в элементарных
функциях. Например, при выборе
tf{z) = {а2 + %2 - (2р/32)_ 1 (р/32)" + 3[(р/З2)7(2р/32)]2) /Г2, а =
const,
(3.176)
общим решением уравнения (3.174) будет функция
Ф(z) = \/p/3 [А exp(wz) +В ехр(- iaz)]. (3.177)
Допустим, что v0 (z) и производные от р можно считать равными нулю вне
некоторого слоя, имеющего конечную толщину. Тогда при | z 1-х" имеем к =
к0,а = fcocos0o, \ - fcosin0o, где к0 = со/с0 - волновое число, 0 0 -
85
угол падения волны при больших значениях | z |. Полагая в (3.177) А = О,
получаем решение в виде падающей из области z = + 00 волны в отсутствие
волны отраженной. Рассмотрим пример: скорость течения направлена
параллельно оси Ох, величина ее равна и0 (z) = м0ехр (- z2/Ь2), плотность
среды постоянна. Распределение показателя преломления пл = к2 (z)/^o>
соответствующего неотражающей среде, находим по (3.176) :
Зависимости u0 (z) и п2 (z) для значений w0/c(f 0,5, k0b = 1, z > 0
представлены на рис. 3.10. В общем случае при /3 -* 1 значение п2 -и.С
ростом в0 возрастают вариации /3 и соответствующие неоднородности
показателя преломления п. При больших к0Ь точка z = 0 становится
единственным экстремумом п (z).
В дальнейшем нас будут интересовать те гладкие профили скорости течения,
не зависящие от со и |, для которых можно найти точные решения уравнения
(3.174) при постоянных значениях скорости звука и плотности. Потребность
в таких решениях возникает при исследовании распространения звука в
тропосфере, где его рефракция часто бывает обусловлена ветром и в меньшей
степени - неоднородностью среды. Другую область, где важны точные решения
для движущейся непрерывно-слоистой среды, составляют исследования
взаимодействия акустических волн со струями, возникающими, например, при
работе реактивных двигателей, при обтекании жидкостью или газом
движущегося тела, а также в гидродинамических источниках звука.
Такие точные решения уравнения (3.174) в замкнутом виде в настоящее время
известны только для единственного профиля течения - линейного [77, 144]:
[(z-z,) 1Ф]" + [k2a](z - zif -|2 - 2(z - Zi)~2][(z - zl)~1 Ф] = 0.
Эффективное волновое число в этом уравнении является частным случаем
семейства ''решаемых" профилей (3.34) (/Зг = 0, /33z\ = - 2, /32z2
=it2a]). Как было показано в п. 3.2, для таких профилей эффективного
волнового числа решения волнового уравнения выражаются через функции
