Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
/' = 1
которое в пределе малой скорости течения становится точным. В соотношение
(3.190) должно быть подставлено f(z), вычисленное по формулам (3.186) и
(3.189).
Укажем условия, при которых возможна замена w(z(f)) на w(f) в уравнении
(3.185). Обозначим через т0 характерное значение \m{z)\, L -
пространственный масштаб изменения v0(z). До тех пор пока будет
выполняться условие If - z | <С /., замена m(z (f)) на т( f) будет
вносить в коэффициент уравнения погрешность порядка к2 m%\z \ jL. Ею
можно ' пренебрегать по сравнению с к2 т до тех пор, пока
m0\z\!L<\. (3.191)
Звуковая волна воспринимает свойства среды осредненно по масштабу длины
волны. Поэтому для резких изменений m(z), когда L ^ к'1, условие (3.191),
требующее малости возмущения эффективного волнового числа в точке,
оказывается слишком жестким и должно быть заменено на
кт0\ z| 1. (3.191а)
Физический смысл требования (3.191а) состоит в малости набега фазы волны
на пути f (z) - z.
/
§ 4. Отражение плоских воли от границ твердых теп
В этом параграфе мы будем изучать плоские упругие волны в дискретно-
слоистой среде, в состав которой входят однородные твердые слои.
Уравнения упругих волн и условия на границах были получены в п. 1.3.
Поскольку распространение сдвиговых волн горизонтальной поляризации в
слоистом твердом теле происходит независимо от распространения волн
вертикальной поляризации и формально вполне аналогично звуку в жидкости,
в настоящем параграфе мы будем заниматься только случаем вертикальной
поляризации. Тогда плоская монохроматическая упругая волна в однородном
твердом теле может быть задана, как показано в п. 1.3, двумя скалярными
функциями, tр (х, z) и ф(х, z):
4> = Vie:,az +l/>2e~,az, a = (fc,2 - |2)1/2, k, = w\cu lma>0, ^
ф=ф1е1'11 + ф2е-''<31,р=(к21 -l2)l/2,kt = w/ct, Im0>O,
где С/ и ct - скорости волн сжатия и сдвиговых волн. Будем считать, что
волновой вектор лежит в плоскости xz. Общий для всех волн фактор ехр[/
(?х - со?) ] для сокращения записи отбрасываем.
89
If
Выпишем выражения для смещения частиц и и упругих напряжений в волие
(4.1). По формулам (1.53) и (1.71) получаем
/ дф ди> \
= , 0, --+ (4.2)
\ Э z Эг /
Из компонент тензора напряжений нам в дальнейшем понадобятся только две.
Подставляя (4.2) в закон Гука (1.49), после несложных преобразований
находим
Охг =-2ц$(уф- Озз =2&u^yp + i-~^, (4.3)
где обозначено
7=*-*?/21 (4.4)
4.1. Плоские волны в упругом полупространстве со свободной границей.
Пусть упругая среда занимает область z > 0; >fi2 и ф2 имеют тогда смысл
амплитуд падающих на границу 2=0 продольной и поперечной волн, а и ф 1 -
амплитуд отраженных волн. На границе должны обратиться в нуль компоненты
03/ (/' =1, 2, 3) тензора напряжений. Выражая эти условия при помощи
(4.1) и (4.3) через амплитуды волн, получаем
ЖФх ~ Фг)~ 7(<Pi +<Лг) = 0,
а(<р, -<p2) + T(i//i + i//2) = 0.
Уравнения (4.5) позволяют найти амплитуды отраженных воли, которые
линейно выражаются через амплитуды падающих волн. Эту линейную связь
удобно записать в матричном виде
сна К": I)
А
причем S называется матрицей рассеяния. Элементы матрицы рассеяния имеют
ясный физический смысл: Уц - коэффициент отражения продольной волны, он
равен амплитуде i отраженной продольной волны, когда падающая волна также
продольная (ф2 ~ 0, ip2 = 1); Уи = фх/^г, когда ф2 = 0, - это коэффициент
трансформации продольной волны в поперечную; аналогично Vti имеет смысл
коэффициента трансформации падающей поперечной волны в отраженную
продольную; Vtt - коэффициент отражения поперечной волны.
Из уравнений (4.5), исключая фх, имеем соотношение (а/3 + -у2)"рi = =
(а/3 - y2)i/>2 - 2у($ф2, С другой стороны, из (4.6) получаем фх = Уц$г +
+ Уцфг- Оба эти равенства должны быть справедливы при любых значениях ip2
и ф2. Следовательно,
У" = (сф-72Жоф + 72), Уti ~ - 2&У 1(оф + У2). (4.7)
Аналогично определяются две другие компоненты матрицы рассеяния:
У и = У и, У/t = 2ау/(а/3 + 72). (4.8)
Имеет место легко проверяемое соотношение
У//=У//Уп = 1 + У(/Уп, (4.9)
90
или
del S = VaVtt- VtlVlt=l.
(4.10)
Рассмотрим некоторые свойства коэффициентов отражения н трансформации.
Прн нормальном падении (| = 0, 7 = -00), а также прн скользящем паденнн
(а = 0 илн /3=0) имеем Vц = Vtt = -1, Vt! = V/t =0, т.е. происходит
полное отражение как поперечной, так н продольной волн (со скачком фазы
на л) без трансформации нх одной в другую. Прн условны
о/З = 72 (4.11)
получаем, что
Vtt = V" =0, Vu = (о//3)1/2, Vtl = -(m4\ ¦ (4.12)
т.е. отражение отсутствует. Продольная волна на границе полностью
переходит в поперечную н наоборот. Для определения значения | = ?0,
соответствующего этому обмену поляризацией, из условия (4.11) получаем
уравнение
т - is)1/2(fc? - й)112=сй -ад. (4.13)
Ниже (в п. 4.4) мы увидим, что это уравнение имеет нлн два вещественных
корня, илн не имеет нн одного.
Пусть при < | < на границу падает поперечная волна. Тогда потенциал 1/з
будет неоднородной волной, экспоненциально убывающей при удалении от
