Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
463
Приравнивая нулю сумму выражений (V. 8)—(V. 10), получаем.
1+^4^ { J (V V W) (V V» 00) dx ~ I (V <Р (х - ^х)) (V У> (х)) dx} +
+ r^b“(vv(o))^x = 0. (V-11)
С помощью теоремы Грина находим j'(v (х))(V v(х))dx = — j' \72<p(x)yi(x)dx = 4тгет/К°). где использовано (V. 6). Аналогично
J(V <?(х—<4x))(v y(x))dx = — J \72ф(х—Ax)yi(x)dx = 4яе^(^1х); отсюда
j (V 9s (х)) (V V (х)) dx - J (V <р (х - Л х)) (V ч> (х)) dx =
= 4яе{^(0) — у(А х)} = — 4ле(у v(O))^ х . (V.12)
С помощью этого соотношения непосредственно убеждаемся, что (V. 11) сводится к соотношению (V. 1), которое мы и хотели доказать.
Отметим, что соотношение (V. 1) позволяет вывести феноменологические уравнения из выражения плотности энергии как функции w и Е
и = — ^ {ftu W2 + 2 ft12 w Е + &22 Е2}. (V. 13)
Таким образом,
1 & 11 г. 6 ц ,,. , ,ч
Wa=/a=-Tli,-. ^.14)
Существование плотности энергии такого вида для ионного кристалла отнюдь не является априори очевидным, ибо, как уже подчеркивалось в тексте, свойства элемента объема, вырезанного из ионной решетки, существенно зависят от его формы, и поле Е не может рассматриваться просто как наложенное внешнее поле (в обычном смысле).
Напомним, что плотность энергии (или плотность свободной энергии) такого вида была постулирована также при общем рассмотрении, проведенном в § 33 и 37.
464
Приложения
VI. ВНУТРЕННЕЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНО ПОЛЯРИЗОВАННЫХ КРИСТАЛ-ЛАХ С ТЕТРАЭДРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ (ЛОРЕНТЦОВО ПОЛЕ)1)
Прежде всего установим простую теорему о тензорах, инвариантных относительно тетраэдральной группы операций.
Действуя на любой вектор Х^, Х2, Х3), декартов тензор Тар преобразует его в другой вектор Y с компонентами
Ya = ^TapX?. (VI. 1)
р
Предположим, что некоторое вращение переводит X и Y в X' и Y' соответственно. Тензор Та/3 называется инвариантным относительно этого вращения, если для произвольного вектора X имеет место равенство
Y'a = ZTailX;] (VI.2)
р
иными словами, если вектор X подвергается повороту, то преобразованный вектор Y поворачивается аналогичным образом. Мы покажем, что если тензор Тар инвариантен относительно тетраэдральной группы вращений, т. е. вращений на угол я вокруг трех взаимно перпендикулярных осей (двукратных осей), и вращений на углы ± 2 эт/3 вокруг соответствующих диагональных направлений (трехкратных осей), то этот тензор эквивалентен скаляру, т. е.
Тар = Т 6ар. (VI.3)
Пусть X и Z — два произвольных вектора. Если тензор Тар инвариантен относительно поворота, переводящего X, Z и Y (преобразованный вектор от X) в X', Z' и Y', то имеем, очевидно, соотношение
2 Za Та/} Хр = 2 Z'a ТаР Х'р (VI.4)
ар ар
(поскольку скалярное произведение двух векторов инвариантно относительно любого поворота) и, следовательно,
2ZaYa = 2Z'aY'a.
а а
Направим декартовы оси координат вдоль двукратных осей. Тогда для поворота вокруг первой из двукратных осей имеем
Х[ = Х1, Х' = -Х2, Х'а=-Ха,
(VI.5)
Z[ = Zi, Z2= Z2, Z3 — Z3.
VI. Внутреннее поле в однородно поляризованных кристаллах 465
Соответственно, (VI. 4) сводится к
Т12 Z, Х2 + Т21Z2 X, + Т13 Z1 Xz + Т31Z3 Х1 =
= - Т12Z, Х2 - Т21Z2 Х1 - Т13Zl Х3 - Т31Z3 Хг. (VI.6)
Поскольку векторы Z и X произвольны, то
т12 - т21 = Т13 = Т31 = О (VI.7)
Аналогичное рассмотрение поворотов вокруг остальных двукрат-
ных осей приводит к соотношениям, которые можно получить из (VI. 6) путем циклической перестановки индексов. Таким образом, находим
Т23 = Т32 = 0. (VI.8)
Итак, все недиагональные компоненты тензора Та1в равны нулю, и (VI. 4) сводится к
2TaaZaXa= 2JTaaZ'aX'a. (VI.9)
а а
Далее, из рассмотрения поворота вокруг трехкратной оси, например,
*;=*!, *з = *2, *; = х3,
Z' = Z1; Z'=Z2, Z[ = Z3, (VI. 10)
непосредственно видно, что все диагональные компоненты Таа{а = 1, 2, 3) равны между собой.
В § 30 было показано, что электрическое поле в некоторой точке дипольной решетки (возбуждающее поле, см. стр. 290) представляет собой сумму макроскопического поля в этой точке и внутреннего поля, причем для последнего существует однозначный предел при больших длинах волн дипольной поляризации. С физической точки зрения это означает, что, когда условия однородны на протяжении большого числа ячеек (так что возможно макроскопическое рассмотрение), внутреннее поле полностью определяется локальными условиями (в макроскопическом смысле). В такой микроскопически однородной окрестности внутреннее поле выражается вторым членом суммы (30.30) в пределе у = 0, а именно
