Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
2) сумма Ф(т) этих вкладов для конечной решетки (IV. 18)
практически совпадает с соответствующей суммой Ф“(т) для бесконечной решетки. *
Чтобы продемонстрировать утверждение (1), обозначим через d(l) расстояние от ячейки I до ближайшей границы конечного
кристалла. Согласно (IV. 26), Фа[/Т) выражает действие этой
ячейки на самое себя. Это действие является разрывным аналогом сферической волны с центром в I, отраженной от границы; такая волна будет почти независима от границы в течение времени /<2d(/)/c, так как за это время она еще не вернется к своему источнику. Здесь с означает максимум групповой скорости для всех волн, который имеет тот же порядок величины, что и обычная скорость звука. Но, согласно (IV. 17), для заданного интервала частот А т ограничено условием т < у/А, где у~1. Следовательно, стенка сильно влияет только на волны от тех ячеек, для которых
460 Приломссния
заметный вклад в сумму (IV. 18), и суммы Ф (т) и Ф"(г) заметно отличаются одна от другой.
Проведенное доказательство действительно показывает, что спектральное распределение не зависит от границы и тем самым устанавливает практическое совпадение этого распределения для конечной, бесконечной и циклической решеток. Последняя имеет то преимущество, что для нее спектр можно определить элементарными методами, как показано в тексте книги:
Л ИТЕРАТУРА
1. Lederman W., Proc. Roy. Soc., A182, (1944).
2. P e i e г 1 s R. E., Proc. Nat. Inst. Sic. of India, 20, 121 (1954).
3. Peierl s R. E., Monthly Notices RAS, 96, 780 (1936).
V. Плотность энергии в ионных кристаллах
461
V. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ1)
Покажем, что соотношение
Ьи = Ьп (V.1)
феноменологической теории, изложенной в § 7, следует из закона сохранения энергии.
Поместим точечный заряд е в начало координат, удерживая ионы в конфигурации w(x)=0, и рассмотрим следующий цикл:
а) Удерживая заряд в фиксированном положении, переводим ионы непрерывным образом в «безвихревую» конфигурацию
w (х) = V V (х),
согласно соотношению
w(x) = fW(*)> (V.2)
увеличивая f от О до 1, причем функция ip произвольна.
б) Удерживая ионы в конфигурации w(x) = yip (х), передвигаем заряд в точку А х.
в) При заряде, закрепленном в точке А х, обращаем процесс «а», т. е. уменьшаем f от 1 до О в соответствии с (V. 2).
г) Наконец, завершаем цикл, возвращая заряд в начало координат. Полная работа, требуемая для совершения всего цикла, должна, очевидно, равняться нулю.
Правая часть уравнения (7.1)
! = bn w + b12 Е (V.3)
выражает силу, сопряженную к w (см., например, микроскопическое рассмотрение в § 9); другими словами, —! A w есть отнесенная к единице объема работа, которая требуется для перевода конфигурации w в w + A w. Таким образом, в общем случае полная работа, совершаемая над системой при перемещении ионов из конфигурации w(x) в конфигурацию w(x) + A w(x), равна интегралу
— J f (х) Л w (х) dx = — J {bn w (х) + b12 Е (х)} A w (х) dx. (V.4/
С помощью первой части уравнения (7.23) (при ее выводе не использовалось соотношение Ь12 = Ь21) находим, что в течение процесса «а» электрическое поле равно
<V'5>
J) К стр. 100.
462
При этом потенциал точечного заряда в вакууме
удовлетворяет уравнению Пуассона,
V29>(x) = — 4 я е д (х),
(V-6)
где 6 (х) — 5-функция Дирака. Бесконечно малые смещения ионов в течение процесса «а» равны [см. (V. 2) ]
Подставляя (V. 2), (V. 5), (V. 7) в (V. 4) и интегрируя ? от 0 до 1-, получаем для работы, затраченной за время процесса «а», выра жение
Второй член в правой части (V. 5) выражает сферически симметричное поле, создаваемое точечным зарядом и не воздействующее на последний. Поле, действующее на заряд в течение процесса «б»г получается, таким образом, если положить (в первом приближении) ? = 1 и х = 0 в первом члене правой части (V. 5)
Поэтому работа, затрачиваемая на перемещение заряда в точку А х, равна.
Процесс «в» в точности обратен процессу «а», не считая измененного положения заряда. Таким образом, изменяя знак (V. 8) на обратный и замейяя ср (х) на ф (х — Л х), получаем работу, совершаемую за время процесса «в»:
На последней стадии w(x) = 0, и на заряд не действует поле. Поэтому для возвращения заряда в начало координат не требуется работа.
A w(x) = {WW}^ ?•
4 л b12 Ь.г1 1 +4 лЬ,2
Ьц](Ч v(x))(V vOO) +
1 + 4 лЬг1
(V9>(x))(W(x))}dx. (V .8)
(V.9)
|'И Г 4.Т bl2bsl
J ( 2 [l + 4ттЬ.„
Я
— &n](v v(*))(v у 00) +
V. Плотность энергии в ионных кристаллах
