Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
все линейные члены в развертке функций Га м ил ь т о н а, то 5=0, также
для возмущенной
системы представляют строгое- решение уравнений движения. Такое
преобразование находится рекурсионным способом, причем производится
одновременно интегрирование остальных уравнений движения.
Итак, пусть мы имеем механическую проблему с функцией Памильтона
(2) Н =H0+IH1+V>H2+...
HQ = Н00(Р)-\-с0 -(-^оЧ0 • • •
=Ни(Z (r);)+"i ч°+с1 ?°2+^°2+^v+ •• •
и, -Н20 {Р, <)+а2 + c/,°2+rfY2+e^0iri0+..
где Нп0, ап, &"••• (п = 1, 2-••) периодические функции (периоды 1).
Искомое преобразование приводит (2) к форме
(3) Я=Г0+ХГ1+121Г2+... причем
(4) Wn=Vn{J.)+Rn
и Rn обозначает степенной ряд относительно ?, *), начинающийся
квадратичными членами.
278
Для функции преобразования полагаем
(5) 5 = 2 JaWl + T+Vn+BP - A-n,
1
где
Т='КТ1-\-1г Т2+...
^ А = 1 Лх+ХМг+...
В=\ 5j"f • • •
будут степенными рядами относительно I, коэфициенты которых Тп, Л", Вл -
периодические функции гг/V"(r)'0/-!-
Итак, мы получаем формулы преобразования ?° и yj°.
(7) $ = ^ = $"-Л; S°=S+iA+P/42+---
= ^°~в-После этого для Jl имеем
| J dTi ,t dBi - дАЛ .
((r)) * dwa " , \ dwl dwl dw°a /
+!"( |%) + . • •
\dwa dwl owa dwaJ
Таким образом, новые переменные отличаются от старых только членами
величины порядка I, так что для >.=О мы получаем невозмущенную круговую
траекторию l°=ri0=0.
Произведя преобразования и развертывая все в ряд по I, получаем для
любого приближения три свободных функции Тп, Л", Вп, которые нужно
определить так, чтобы удовлетворялись наши требования.
Сравнивая коэфициенты при I из (2) и (3), получаем:
(9) у 6-^-4 -^>)+2c0A1t+2d0Blrl+
jfj dJa \ dwa dwi dwa)
+^io+^i• • = Vrt+/?i.
Полагая множители при I и ц равными нулю, находим уравнения для
определения At и Вг
\\дНс{>дВ1
Эти уравнения принадлежат к типу, который мы обыкновенно имеем втеррии
возмущения. При их интегрировании, Ак В разлагаются на постоянную,
зависящую только от У и чисто периодическую часть:
A^At+A"
Первая определяется уравнениями, полученными посредством усреднения (10)
_
(11) Ав,- bl
2 с0 2dn
а последняя находится непосредственно из (10), как в уравнении (11) § 41.
Из членов, не содержащих { и т) в (9), как обыкновенно, можно вычислить
Vt и Ти как функции Л и wl.
Точно таким же образом мы производим операции с высшими степенями
приближений.
Ввиду того, что уже во втором приближении формулы делаются совершенно
неудобными для рассмотрения, мы их не станем писать. Необходимо заметить,
что в первом приближении в выражение энергии не входят новые термы, но
уже во втором приближении появляются целые ряды новых членов.
Конечный результат- фу н кция Гамильтон а - представлена в следующем
виде:
(12) H=V(Ja)+c{Ja)?+d(Ja)7i*+e(J")Z т)+...
Это гамильтоновская функция системы, где все координаты являются
циклическими координатами.
Движение находится обычным путем, а именно решением диференциального
уравнения Гамильтона - Якоби для одной степени свободы.
По той причине, что ? и i) (как $° и т]°) исчезают вместе с X, мы будем
рассматривать только малые движения, а именно движения системы с функцией
Гамильтона
(13) c^+d^+el-q-
С помощью подходящего однородного линейною преобразования 5, 7) в новые
переменные Е, Н она получает форму
(14) СЕ*+Ш2.
В случае, когда квадратическая форма (13) определена, т. е. С и D в (14)
имеют равные знаки, движения вблизи Е = Н = 0 или ? = т)=0 представляют
собой малые колебания Е и Н вокруг этих точек. Единственное движение,
соответствующее квантовому условию
/; = фн^н = 0
есть такое движение, при котором $ и т) равны нулю.
280
Энергия такого состояния минимальна при условии, если квадратическая
форма определена, как положительная величина; если она отрицательна-
энергия будет максимальна. В случае неопределенной квадратической формы
(13), существуют для любой близости от ? = т)=0 движения, при которых S и
rj не остаются малыми. Единственными значениями, которые удовлетворяют
уравнениям движения и квантовому условию, здесь также являются значения
?=j] = 0, но движение неустойчиво. Во всех случаях возмущенное движение
всегда имеет степень периодичности /- 1; его энергия равна
(15) W=V(Ja).
Наши соображения и вычисления распространяются на предельное вырождение
любой кратности.
Для производящей функции пользуются выражением
(16)
0=1 р-J-f-1
- Результат преобразования есть представленная в следующем" виде функция
Гамильтона:
(17) Н- V (/" ) Sp Sj + ^'rfp.a'l'lp
р,а р,а р,а
причем добавляются еще члены третьего и высших порядков относительно ?р,
у\р . Однако уравнение Гамильтона-Якоби, к которому приводит эта функция
для конечных , в общем
случае не разделимо. Мы рассмотрим движения при малых
Sp И 7)р,
С помощью соответствующего линейного однородного преобразования
квадратическую форму (17) можно записать следующим образом:
(18) Я=У(Л)+2(СрЗр2+ДНр2).
р
Теперь Н допускает разделение переменных.
Единственные движения, ^соответствующие квантовым условиям, будут
