Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
0,034 - 0,017 + 0,002 + 0,019
i . (ортогелий . - 0,069 - 0,003 - 0,001
° S 1 ^ o< (парагелий . + 0,011 - 0,002 - 0,001
Сравнение ясно указывает нам, что теоретические значения не совпадают с
найденными экспериментально.
Прежде чем закончить книгу, необходимо указать на следующие моменты:
1 Общее решение этой проблемы без ограничений относительно круговых путей
для внутреннего электрона можно найти у М. Борна и В. Гайзен-б е р г a,
Zeitschr. f. Physik. Bd 16, S. 229, 1923.
208
Последовательное применение принципов квантовой теории, установленных во
второй главе, а именно-вычисление движений по законам классической
механики и выбор из числа их стационарных состояний посредством
определения переменных действия,, как целых чисел кратных планковской
постоянной, приводит к правильным подтверждающимся опытом результатам в
тех случаях, где речь идет только о движении одного электрона; оно - это
применение - делается непригодным уже при исследовании движения двух
электронов атрма гелия. Здесь нет ничего удивительного, так как в
основном использование таких принципов ни в коем случае не является
последовательным. В то время, как при описании взаимодействия атома с
излучением в Боровском частотном условии, вместо классического ди-
ференциального закона, выступает закон разностей, при исследовании
взаимодействия многих электронов до сих пор всегда оперируют с
классическими законами диференцирования. Систематическое превращение
классической механики в дискретнопрерывную атомную механику является
целью, к которой стремится квантовая теория.
299
ПРИЛОЖЕНИЕ
I. ДВЕ ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛАХ
a) Теорема. Если X какое-либо иррациональное число, то можно выбрать
два целых числа т и т' так, что (т+т'Х) будет, произвольно чала.
Доказательство.
Пр дставим себе, что из О на единичный отрезок ОЕ
проведены отрезки ОРх, ОР2..., длины которых равны X-'[X]; 2Х- [2л]...,
([х] при этом обозначает максимальное целое число, непревышающее х). Из
иррациональности X следует, что точки
О, Рх, Р2. •. не сливаются вместе и, так как все они
расположены на единичном отрезке, то они должны иметь точку,
напр., Р. Вблизи этой точки лежат среди нашей системы точек
точки Р3 и Р"+т>, расстояние которых меньше наперед зада-ного числа 8.
Это расстояние равно:
оХ-[аХ] - (а+т')Х+[(о4-т')Х],
оно менее целого числа на т'Х.
Полагая целое число равным -т, имеем
| т 4-т'Х) <3.
b) Траектория движения, в пространстве угловых переменных, и есть
прямая. Не ограничивая общности, лул можем начальную точку поместить на
траектории, после чего замечаем, что направляющие косинусы прямого пути
пропорциональны частотам v1( v2... v/ .
Мы утверждаем следующую теорему: Если отсутствует вырождение, то всегда
можно для одной произвольной наперед заданой точки отыскать эквивалентную
ей точку, к которой траектория движения подходит произвольно близко.
Ограничивая траекторию единичным кубом, где мы каждую ее точку заменяем
эквивалентной точкой единичного куба, мы можем нашу теорему выразить в
следующей форме:
Теорема: Траектория движения подходит произвольно близко к любой точке
единичного куба. Она соответствует нашей теореме чисел:
Если задано п иррациональных чисел а1...апи произвольное число Ь, то
можно всегда найти п целых чисел ^...Тл так, чтобы '
(та)=т1а1+ ... +тл ап отличалось от b на произвольно малое число.
300
Теорему о траектории мы докажем следующим образом1: Пусть О - начало и
OEt, ОЕ2...ОЕ/- единичные отрезки системы координат (wv w2...w/). Пусть
затем точки пересечения траектории, ограниченной единичным кубом с
гранями (/-1)-измерений, органиченными ребрами ОЁи ОЕ2...ОЕу, будут Р0,
Ри Р2...тл допустим, что точки Р0 и О совпадают. Ввиду того, что
направляющие косинусы несоизмеримы, из ссех наших точек не сливается ни
одна.
В каждой из этих (f-1)-мерных граней расположено бесконечное множество
векторов Рт Рт+п , значение которых меньше наперед . заданого числа S.
Выясним вопрос о распределении точек пересечения траектории на
ограничивающей поверхности. Для этого рассмотрим какие-нибудь
перпендикулярные к отрезкам ОЕх.. .части, скажем, принадлежащие ОЕ/.
Пусть для определенности Ръ будет первая точка пересечения из всего ряда
Ръ Р2. .., приходящегося на эту грань (а - конечное число; в противном
случае появляется вырождение). _____
Приведя от Ро лежащие на грани вектора Рт Рт+п , мы получаем новые точки
нашего ряда: Qv Q2.-".
Первым долгом мы покажем, что они не лежат все в одном линейном (f-2)-
мерном пространстве, проходящем через Р". Доказывать будем в
предположении, что этот случай уже однажды имел место.
Точка Р" в рассматриваемой у-1)-мерной грани имеет координаты
(&=!•••/- 1)
Рис. 41.
Тогда для /-1 других точек ряда Р*" Pi2...Px_ можно написать: f~1
1
Vi *1
Ь V
V, ' Ь X!
i - - 1 v, Xf.
Ь
V
V/-:
V/
ЧЧ'
V/
V- [Л/-'Ч 1
=0
1 См. литерат. F. Leitenmeyer, Ргос. of the London Math. Soc. (2), Bd.
21, S. 306, 1923.
301
или после простого преобразования
